WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) КИНЕМАТИКА ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

КИНЕМАТИКА

Методические указания по решению задач

по курсу: Теоретическая механика

Москва 2000

Составитель Н.М.Трухан

УДК 531

Кинематика. Методические указания по

решению задач по курсу: Теоретическая механика. /

МФТИ М., 1991. 32 с.

© Московский физико-технический институт

(государственный университет), 2000

I. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

ТОЧКИ

1. Координатный способ задания движения точки Любые три независимые величины q1, q 2, q3, однозначно определяющие положение точки в трехмерном пространстве, могут рассматриваться как координаты этой точки. При этом радиус-вектор точки является функцией этих координат, т.е. r = r ( q1, q 2, q3 ). При изменении одной из координат и фиксированных остальных конец радиуса-вектора r вычерчивает линию, которую называют координатной линией. Координатные линии, вообще говоря, кривые, и поэтому координаты называют криволинейными.

Единичные орты ei, направленные по касательным к координатным линиям в точке М пространства в сторону возрастания соответствующих координат, определяют в каждой точке пространства систему координат, причем 1 r ei =.

r qi qi Вектор скорости dr 3 r 3 = qi = H i qi ei, V= (1.1) dt i =1 qi i =1 где x y z r = q + q + q.



Hi = (1.2) qi i i i Равенство (1.1) представляет собой разложение (а не ортогональное проецирование !) вектора скорости по осям криволинейной системы координат. Ортогональные проекции Vqi вектора скорости на оси qi равны 1 V 2 = V ei =.

Vq (1.3) H i qi 2 i Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ламе и находятся из соотношения dS i = H i dqi, где dSi – дифференциал дуги i-й координатной линии при изменении i-й координаты и фиксированных остальных.

В самом деле, в прямоугольной системе координат dS2 = dx2+ dy2+ dz2, (1.5) но x y z dx = dqi, dy = dqi, dz = dqi..

i =1 qi i =1 qi i =1 qi Подставляя значения dx, dy, dz в (1.5), получим

–  –  –

где x x y y z z H ik = + +.

qi qk qi qk qi q k Предполагая, что изменяется лишь одна координата, а две другие фиксированы, получим (1.4), т.е. коэффициенты Ламе получаются как множители дифференциалов координат в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Если система криволинейных координат ортогональна, т.е. если при i k

–  –  –

Как видно из формулы (1.9), проекции ускорения на координатные оси qi получаются дифференцированием выражения для квадрата скорости. При этом следует иметь в виду, что qi и qi независимы, что отражает факт независимости событий: находиться в какой-либо точке пространства и иметь в этой точке какую-либо скорость.

Кроме того, изучается не движение по некоторой заданной траектории, а способ описания любых движений. Иначе говоря, рассматривается вся совокупность допустимых движений и выбор точки пространства задает только ее положение, никак не ограничивая направление и величину вектора скорости.

Задача 1.1.

Найти скорость движущейся точки и проекции ее ускорения на касательные к координатным линиям цилиндрической системы координат r,, z (рис. 1).

Решение. Так как система координат ортогональна, то V 2 = H i qi.

–  –  –

2. Движение тела, имеющего одну неподвижную точку Если твердое тело имеет одну неподвижную точку, то для каждого момента времени существует мгновенная ось вращения, проходящая через неподвижную точку О.

Выбирая в качестве полюса эту точку, для скорости и ускорения произвольной точки тела в соответствии с (2.1) и (2.2) будем иметь VM = OM, (2.5)

–  –  –

Кориолисово ускорение Wk = 2tv sin.

Компоненты ускорения представлены на рис.8.

Проецируя компоненты ускорения на три ортогональные направления, находим величину абсолютного ускорения точки М:

–  –  –

Относительное движение точки M (N) – движение ее вместе с шестерней 4, которая вращается относительно выбранной подвижной системы с угловым ускорением 4 r и имеет в 4r.

данный момент угловую скорость Для определения 4r воспользуемся методом Виллиса. Обозначим абсолютные угловые скорости шестерен 1 = 0, 2 = 3, 4. (Это их абсолютные значения).

Перейдем в систему координат, жестко связанную с кривошипом.

По отношению к этой системе угловые скорости шестерен будут соответственно:

1r =, 2 r = 2, 3r = 3, 4 r = 4.

Так как проскальзывание в системе отсутствует, то можно приравнивать между собой относительные линейные скорости точек касания. Учтем теперь, что при внешнем зацеплении шестерни вращаются в противоположных направлениях. Получим ( )r = ( )r = r, 1 2 2 2r 2

–  –  –

WKM = WKN = 0.

Так как система отсчета движется поступательно, то для величины скорости и ускорения точек M и N получаем (см. рис. 12) VM = V A VrM = 3r, VN = V A + VrN = 3 5r,

–  –  –

Рис. 20 перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту приложенного в точке А вектора относительно точки В.

Задача 5.3.

Найти распределение скоростей точек тела, вращающегося с угловой скоростью 1 вокруг оси 1-1, укрепленной на платформе. Платформа вращается с угловой скоростью 2 вокруг оси 2-2. Оси 1-1 и 2-2 скрещиваются.

Решение. Скорость любой точки тела М в соответствии с формулой (3.1) равна VM = 1 AM + 2 BM, где первое и второе слагаемые представляют собой относительную и переносную скорости соответственно. Так как BM = BA + AM, а V A = 2 BA, то VM = V A + (1 + 2 ) AM = V A + AM.

Мы убедились, что распределение скоростей при сложении двух вращений вокруг скрещивающихся осей эквивалентно распределению скоростей при сложении поступательного движения со скоростью выбранного полюса А и вращательного движения вокруг оси, проходящей через выбранный полюс, причем направление оси вращения и угловая скорость определяются вектором = 1 + 2.

Рассмотрим эту задачу, опираясь на теорию скользящих векторов.

Выберем на линии действия вектора произвольную точку А и построим в ней векторный нуль с векторами 2 ' = 2 и 2 ' = 2, и перенесем в эту

1. Эти операции, очевидно, не изменят точку А вектор действия векторов 1 и 2. Совокупность векторов 1 и 2 ' может быть заменена вектором = 1 + 2, так как они образуют систему пересекающихся векторов. А векторы 2 2 ' и образуют пару, момент которой равен моменту вектора 2 относительно точки А. Таким образом, совокупность двух вращательных движений вокруг скрещивающихся осей эквивалентна сумме следующих двух движений: вращательного движения с угловой скоростью V = 2 'BA, и поступательного движения со скоростью 2.

где В – произвольная точка на линии действия вектора Направление оси вращения определяется вектором, а поступательное движение реализуется в направлении, ( ) перпендикулярном плоскости пары 2, 2 ' т.е. мы снова получили тот же результат, что и исходя из формул кинематики.

Приведенные выше рассуждения (см. решения задач 5.1 - 5.3) показывают, что векторы угловых скоростей при сложении вращательных движений, в которых участвует твердое тело, можно рассматривать как систему скользящих векторов.

Опираясь теперь на теорию скользящих векторов, рассмотрим общий случай сложения движений тела.

Общий случай сложного движения тела можно представить следующим образом. Тело одновременно участвует в К вращениях с угловыми скоростями 1, 2,..., k и поступательных движениях со скоростями V1, V2,..., Vm.

Но каждое поступательное движение можно представить как пару мгновенных вращений. Следовательно, общий случай сводится к сложению одних только мгновенных вращательных движений.

Рассмотрим систему векторов угловых скоростей 1,..., n, расположенных как угодно в пространстве.

Перенесем эти векторы в произвольно выбранную точку О, добавляя при этом соответствующие пары. Мы получим в точке О две системы векторов: систему векторов i ( i ' = i ) OAi i, где Аi – точки, и систему векторов выбранные произвольно на линиях действия векторов i.





Складывая по правилу параллелограмма векторы i ', получаем n n = i ' = i. (5.3) i =1 i =1

–  –  –

_______________________________________________

Подписано в печать 10.10.91. Формат 60x901/16. Бумага писчая №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд.л. 2,0.

Тираж 1500 экз. Заказ № 1/393 Бесплатно.

_______________________________________________

Московский физико-технический институт Лаборатория обработки учебной и научной информации



Похожие работы:

«УДК 630*6 ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ВНЕДРЕНИЯ НОВОГО ИННОВАЦИОННОГО МЕТОДА ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ДРЕВЕСИНЫ Е.Ю. Салдаева, Е.М. Цветкова Приводится метод, позволяющий с н...»

«58 УДК 541.64:678.01 Поверхностные энергетические характеристики композитов на основе природных полимеров Глазков С.С., Козлов В.А., Пожидаева А.Е., Рудаков О.Б. Воронежский го...»

«АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН ОТДЕЛЕНИЕ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ НАУК ИТОГИ деятельности Отделения химико-технологических наук за 2014 г. Уфа – 2015 Члены Отделения химико-технологических наук академики Абдрахманов Ильдус...»

«УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Тамбовской области ТОГБОУ СПО Жердевский колледж сахарной промышленности Утверждаю Зам. директора по УР _Н.В.Зингер Комплект контрольно-оценочных средств основной профессиональной обр...»

«Техническая коллекция Schneider Electric Выпуск № 4 Координация защит низкого напряжения Руководство № 5 Компания Schneider Electric приступила к выпуску "Технической коллекции Schneider Electric" на русском языке. Техническая ко...»

«Ultima ratio Вестник Академии ДНК-генеалогии Proceedings of the Academy of DNA Genealogy Boston-Moscow-Tsukuba Volume 8, No. 2 June 2015 Академия ДНК-генеалогии Boston-Moscow-Tsukuba ISSN 1942-7484 В...»

«Философия техники как область философского знания. Предмет философии техники. 1. Философия техники как специфическая область философского знания зародилась на Западе более ста лет назад и приобре...»

«МИНИСТЕРСТВО ЭКОНОМИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ ОБЩЕРОССИЙСКИЙ КЛАССИФИКАТОР ВИДОВ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ, ПРОДУКЦИИ И УСЛУГ...»

«Крыжановский Андрей Сергеевич Углекислотная конверсия метана на мембранных молибден-карбидных катализаторах 05.17.07 – химическая технология топлива и высокоэнергетических веществ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата хи...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский го...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.