WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и ...»

Лекции по экономическому моделированию

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический

университет»

Институт экономики и управления

Кафедра Информационных технологий и моделирования

Г.Л.Нохрина

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Курс лекций

ЕКАТЕРИНБУРГ 2015 г.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию

Оглавление

1 Основные понятия микроэкономической теории.

1.1 Проблема распределения ограниченных ресурсов экономики.

1.1.1 Движение общественного продукта

1.1.2 Блага и участники экономики

1.1.3 Деньги как единица измерения объемов потребления

1.2 Модель поведения потребителя

1.2.1 Общая характеристика модели.

1.2.2 Функция полезности и отношение предпочтения.

Основные свойства допустимого множества и функции полезности 1.2.3 потребителя.

1.2.4 Функция спроса потребителя.

1.3 Модель поведения фирмы.

1.3.1 Производственное множество и производственная функция.

1.3.2 Оптимальные по Парето способы производства.

Примеры формального описания производственных множеств.

1.3.3 Производственная функция фирмы

1.3.4 1.3.5 Функция предложения фирмы

2 Общее равновесие в условиях совершенно й конкуренции.

2.1 Постановка проблемы распределения и обмена общественного продукта.



2.1.1 Четыре стадии движения общественного продукта.

2.1.2 Проблема распределения продуктов и ресурсов экономики

2.1.3 Основные предположения модели распределения в условиях совершенной конкуренции.

2.2 Общая модель рыночного равновесия Вальраса

2.2.1 Предложение ресурсов.

2.2.2 Модель поведения потребителей.

2.2.3 Определение состояния равновесия.

Теорема существования равновесия в модели Вальраса.

2.2.4

2.3 Модель Эрроу Дебре

Допустимое множество и функция предложения ресурсов в модели Эрроу-Дебре.. 74 2.3.1 Спрос потребителей.

2.3.2 Определение состояния равновесия

2.3.3 Существование равновесия в модели Эрроу - Дебре.

2.3.4

–  –  –

1 Основные понятия микроэкономической теории.

1.1 Проблема распределения ограниченных ресурсов экономики.

1.1.1 Движение общественного продукта Материальной основой поступательного развития человеческой цивилизации является прогресс общественного производства.

Производство в любой стране и во все исторические эпохи представляет собой процесс воздействия человека на предметы и силы природы и приспособления их к удовлетворению тех или иных потребностей.

Оно всегда предполагает взаимодействие трех факторов: рабочей силы человека, предметов труда и средств труда.

В каждом конкретном случае результатом производства выступает единичный продукт: хлеб, ткани, станки, автомобили и т. д. ^ экономическая наука имеет дело не с единичным продуктом и не с каким-то конкретным производственным процессом, а с общественным производством, результатом которого выступает общественный продукт.

Валовой общественный продукт представляет собой сумму всех потребительских стоимостей, созданных в обществе за определенный период (обычно год). Он может быть охарактеризован как сумма продукции отдельных производителей, первичных звеньев общественного производства (предприятий и организаций) за этот период времени.

В состав общественного продукта входят разнообразные материальные и нематериальные блага и услуги. Они создаются в различных сферах и отраслях экономики.

Различают следующие четыре стадии движения общественного продукта: производство, распределение, обмен и потребление Связь производства, распределения, обмена и потребления может быть схематически изображена следующим образом.

1.1.1.1 Стадии движения общественного продукта.

–  –  –

Все выше названные стадии движения общественного продукта образуют части единого целостного процесса, соединены между собой прямыми и обратными связями.

Производство - исходный пункт, в котором возникает создается сам продукт и с которого начинается его движение. Решающая роль производства состоит в том, что распределить, обменять и потребить можно лишь продукты, предварительно созданные трудом.

Между производством и потреблением существует сложная, диалектически противоречивая связь. При всей важности производства оно имеет смысл только тогда, когда служит потреблению.

Производство ради производства бессмысленно. Потребление образует цель и одновременно движущий мотив производства.

Распределение и обмен опосредствует связь между производством и потреблением, образует своеобразный механизм их взаимодействия.

Проблема здесь отнюдь не в том лишь, что делить, но и в том как это делать. Принципы распределения, его характер находятся в определяющей зависимости от форм собственности, на средства производства. Класс господствующий в производстве, получает львиную долю и при распределении продукта.

Обмен опосредствует связь между производством и распределением, с одной стороны, и потреблением - с другой. Обмен как и распределение совершается и в самом производстве (в виде обмена деятельностью и способностями), и вне его, представляя собой самостоятельную функцию в движении продукта.

В первом случае, то есть при обмене деятельностью и способностями, речь идет об отношениях между работниками связанными последовательным выполнением производственных операций. Так, при сборке, например, автомобиля результат достигается совместными, дополняющими друг друга усилиями Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию большой группы работников разных цехов и специальностей, между которыми и происходит обмен деятельностью.

Обмен продуктами призван доставлять каждому участнику производства, каждому его звену определенные блага в соответствии с долей, устанавливаемой распределением. Хорошо налаженный обмен обеспечивает непрерывность и согласованность производства, а любые нарушения на этой стадии подрывает нормальный его ход, отрицательно сказывается на конечных результатах.

Потребление является завершающей стадией движения продукта.

Экономическая наука изучает отношения между людьми связанные с производством потреблением обменом и распределением продуктов и ресурсов.

Предметом исследования экономики являются, с одной стороны, основные операции - производство, распределение и потребление благ, а с другой - институциональные структуры и процессы, преследующие цель облегчить эти операции.

Основной целью исследования настоящей и последующих глав является анализ процессов распределения и обмена благами и ресурсами между участниками экономических процессов.

Как наука позитивная, предназначенная для объяснения явлений, экономика должна анализировать поведение участников экономического процесса, обладающих некоторой свободой действий, но подчиняющихся ограничениям, налагаемых на них природой и обществом. Она должна изучать последствия, которые оказывают эти индивидуальные действия на общее состояние общества.

Как наука нормативная, экономика должна заниматься вопросами отыскания наилучших форм организации производства, распределения и потребления. Она должна снабдить нас аппаратом, позволяющим сравнивать преимущества различных форм организации общественного производства.

Выполняя свое двойное назначение - как позитивное, так и нормативное наука при анализе проблемм

-экономическая распределения и обмена отводит центральное место цене, которая играет определяющую роль при распределении и обмене благами между участниками экономического процесса. Основное внимание при изучении процессов распределения и обмена экономики будет наСоставитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию правлено на изучение одновременного установления как цен, так и количеств, распределяемых между участниками продуктов и ресурсов.

Существующие в настоящее время теории ценообразования и распределения ресурсов, построены на основе системы связанных между собой абстрактных понятий, которое позволяют дать формальное представление модели распределения ограниченных ресурсов между участниками экономического процесса.





В главе, посвященной анализу этих проблем, мы будем проводить рассуждения на одной общей модели, в которой по мере необходимости будут вводиться различные специальные предположения и для которой будут рассмотрены различные расширения. Нашей первой задачей является описание различных элементов этой модели.

Мы будем использовать дескриптивный или позитивный подход к изучению процессов распределения ресурсов между участниками экономики.

Основной чертой этого подхода, является то, что свойства реального процесса распределения изучаются на основе анализа поведения каждого из субъектов экономики.

Предметом изучения здесь является свойства экономических процессов, имеющих децентрализованный характер. Основной упор делается на обсуждении проблемы выявления условий, при выполнении которых возможно принятие в определенном смысле согласованных решений для совокупности отдельных участников экономики, имеющих собственные интересы и предпочтения, а также изучаются способы достижения таких согласованных решений в различных ситуациях.

Рассматриваемая теория является микроэкономической, потому, что в своих абстрактных формулировках пытается учесть индивидуальность каждого участника экономического процесса.

Это условие априори представляется необходимым для логически обоснованного изучения рассматриваемых явлений. В противоположность этому все остальное в теории и в частности ее основные результаты и выводы является макроэкономическим опирающимся непосредственно на агрегаты благ и участников.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию 1.1.2 Блага и участники экономики Блага и участники экономического процесса являются первоначальными понятиями рассматриваемой ниже модели распределения ресурсов экономики.

Хлеб, уголь, электроэнергия, автобусы и т. п. рассматриваются как блага, количество каждого из которых измерено в подходящих единицах. Обслуживание транспорт, стрижка волос, медицинские консультации и т. п. являются также благами, так как предназначены для удовлетворения потребностей человека. Труд является особо важным благом ибо он является основным элементом всякого про изводства.

В дальнейшем определим, что понятие блага - это обобщенный термин, объединяющий известные термины : материальные (потребительские и производственные) блага, капитальные блага и финансовые и т.д 2 Термин благо определим как некоторые объекты имеющие положительную общественную полезность, и которые могут использоваться в процессах обмена и распределения между участни ками экономики.

Предположение 1.1.1 Количество различных наименований товаров конечно.

Первое предположение, которое мы сделаем для построения модели заключается в том, что список благ и товаров задан и их общее число конечно.

Ясно, что в реальной действительности количество продуктов и ресурсов экономики меняется со временем в результате их производства и потребления различными участниками экономики.

Однако в дальнейшем при построении моделей общего равновесия мы будем считать, что общее число различных наименований продуктов и ресурсов задано и будем это число обозначать буквой - n В дальнейшем для обозначения субъектов экономики мы будем использовать термин участник экономического процесса. Что соответствует переводу на русский язык термина "agents" - "агенты" или экономические агенты, однако в рамках настоящей работы будет использоваться выражение участники экономического процесса или просто участники. Такой термин используется в книге Э Маленво "Лекции по микроэкономическому анализу" перевод с французского Х.А. Атакшиева, под редакцией К.А. Багриновского, Москва, Наука, см. Л.И.Лопатников. Экономико-математический словарь. Москва, Наука, 1993, 446 стр.

–  –  –

Относительно товаров предполагается, что они локализованы и их покупка продажа связана с определенным моментом времени.

Предположение 1.1.2 Все блага и товары измеримы.

Второе упрощение необходимое для построения модели: все блага и товары предполагаются измеримыми.

Под этим, мы подразумеваем, что каждый из них однороден, и что их не продают поштучно. Это понимается в том смысле, что можно купить немного больше или немного меньше товара, или ровно в два раза больше или ровно в два раза меньше.

Понятно, что эта возможность измерения количества каждого товара сильно упрощает процесс обмена. Поэтому исторические общества используют различные приемы для ее обобщения: продукты питания продаются на вес, жидкости - на объем, труд оплачивается повременно.

Предположение измеримости позволяет оценить количество каждого товара вещественным неотрицательным числом.

Экономическая деятельность людей является одновременно профессиональной и личной: в профессиональном плане она протекает чаще всего в рамках предприятия и объектом ее является общественное производство; в личном плане она протекает в семье и выливается в потребление благ для удовлетворения различных потребностей.

С теоретической точки зрения удобно различать два типа организационных ячеек, в которых протекают процессы производства или потребления. Мы будем называть их производителями и потребителями Вообще говоря, участники экономического процесса - это индивидуумы или группы индивидуумов, составляющие элементарные действующие единицы. Будем предполагать, что каждый участник способен принимать самостоятельное решение в связи с обменом и распределением продуктов и ресурсов.

Множество всех участников могут быть разделено на две категории: производители, которые преобразуют одни блага в другие, и потребители которые используют некоторые блага на собственные нужды. Первые иногда называются также предприятиями или фирмами.

Вторые представляют собой индивидуумы или группы отдельных Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию индивидуумов, составляющих семьи (домашние хозяйства) или более обширные социальные группы людей, преследующих общие цели.

В рассматриваемой нами основной модели имеется п благ, H потребителей и F производителей. Некоторые имеющиеся ресурсы могут быть использованы как для производства, так и для потребления.

Наконец, мы часто будем делать дополнительные предположения, что все блага имеют цену. Коротко остановимся на каждом из этих понятий.

1.1.2.1 Блага Каждое благо k k = 1,2,...,N имеет определенную единицу измерения. Два равных количества одного и того же блага эквивалентны для каждого производителя и для каждого потребителя.

Приняв нормативную точку зрения, мы будем предполагать также, что два равных количества одного и того же блага эквивалентны для всего сообщества участников в целом. Мы часто будем иметь дело с набором благ. Набор благ есть совокупность некоторых количеств каждого из благ k xk 0 k = 1, 2,...,N. Он, следовательно, представляет собой N мерный вектор x RN. Задание количества каждого товара сводится к заданию неотрицательного числа xk для k изменяющегося от 1 до N.

1.1.2.2 Потребители.

Потребителей мы будем обозначать буквами h (h = 1, 2,...,H) Процессы распределения и обмена продуктами для потребителя h определяется набором xh Rn, компоненты которого xkh k = 1,2,...,n соответствуют количеству различных потребляемых благ. Значения xkh не обязательно положительны. Удобно считать, что если в процесс обмена или распределения какой то участник экономики получает благо k (предъявляет спрос на благо k ), то соот-вествующая кордината вектора xkh положительна, если отдает (предлагает), то отрицательна.

Например, потребитель h выполняет работу определенного вида.

Эту работу, мы в дальнейшем будем, представлять как отрицательное потребление блага, соответствующего работе данного вида для потребителя h. Конечно всякая дескриптивная теория распределения благ и ресурсов между потребителями, должна опираться на соответствующие теории и модели поведения каждого из участников экономики. Поэтому, ниже будут приведена достаточно общая модель, Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию опредяля-ющая поведение потребителей в процессе распрелеления и обмена имеющихся ограниченных ресурсов.

1.1.2.3 Производство.

Производителей мы будем обозначать буквами f (f = 1, 2,...,F) Производитель f (f =1, 2,F) преобразует или потребляет некоторые блага, которые мы будем называть (inputs) ресурсами предприятия, в другие блага, называемые продукцией или просто выпусками (outputs).

Пусть vj и wj - векторы представляющие наборы ресурсов vkj и выпускаемой продукции wkj Чистая продукция блага k выпускаемая производителем f по определению равна:

Vkj = wkJ - vkJ, k = 1, 2,...,N.

Она положительна, если благо k выпускается, и отрицательна, если оно затрачивается.

В дальнейшем мы часто будем рассматривать наборы чистой продукции, не делая различия между ресурсами и продукцией. При изучении общей модели распределения благ и ресурсов между участниками экономики иногда бывает необходимо использование моделей поведения фирм производящих продукцию для потребления.

Поэтому, ниже будут приведена некоторые достаточно общая модель, опредяляющая поведение производителей в процессе распределения и обмена продуктами и ресурсами между всеми участниками экономики.

1.1.2.4 Начальные распределяемые запасы ресурсов.

Общество изначально обладает некоторыми количествами блага Q = (ui,u2,...,UJN) Rn каждого блага. Это начальные запасы, вектор которых Q Rn представляет собой одно из данных, описывающих рассматриваемую ситуацию. Мы будем рассматривать различные варианты основной модели.

Например, при анализе проблемм коллективного выбора и проблемм оптимального распределения ресурсов между индивидуумаит мы будем считать, что начальные запасы продуктов и ресурсов принадлежат всем участникам экономики в целом. При анализе проблемы распределения ресурсов в условиях экономики основанной на частной собственности мы будем предполагать, что начальные запасы распределены между потребителями и являются их собственностью. Нам придется также прибегать к упрощению наших Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию теоретических исследований, рассматривая модель без производства, в которой анализируются процессы распределения и обмена благами между потребителями.

Проблема распределения благ между участниками экономики состоит в нахождении наилучшего допустимого распределения. Какими критериями здесь следует руководствоваться ? Как сравнивать различные распределения.

В дальнейшем, при изучении таких критериев будем придерживаться дескриптивной точки зрения. То есть будем изучать ситуации в которых принимаемые решения, не приносятся участниками экономики извне, и единственными критериями, применимыми к распределению благ и товаров между участниками, являются критерии, которые признаются всеми заинтересованными сторонами.

Для изучения таких ситуаций необходимо использовать модели поведения всех участников экономики производителей и потребителей, а также возможные модели коллективного выбора согласованного между участниками распределения благ и ресурсов.

1.1.3 Деньги как единица измерения объемов потребления Обычно общественная организация экономической деятельности участников экономики позволяет индивидуумам обмениваться благами.

В моделях, рассматриваемых в последующих главах обмен благами производится в соответствии с ценами на эти блага, в денежном выражении.

Затраты денег это потребление специфического товара используемого для сравнения объемов потребления других товаров.

Величина потребления каждого товара может быть выражена количественно в денежных единицах, затраты которых на покупку эквивалентны объему потребления данного товара.

Выбор общего для всех товара, который выполняет функцию денег в экономике предполагает согласие (консенсус) между субъектами экономики относительно использования того или иного товара в качестве меры для сравнения объемов потребления всех других товаров.

Деньгам традиционно приписываются три функции: средства платежа, средства счета, средства сохранения ценности.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию 1.1.3.1 Средство платежа.

В качестве средства обращения при обмене благ и в кредитных отношениях деньги служат всеобщим платежным средством. При наличии всеобщего платежного средства прямой обмен одного блага на другое (бартер) заменяется двумя актами: продажей товара за деньги и покупкой на них другого товара. Переход от бартера к к купле продажи облегчает товарообмен за счет того, что индивиду, желающему обменять благо А на благо В не нужно искать индивида, желающего обменять благо В на благо А. Благо А можно продать за деньги, если есть хотя бы один покупатель блага А, и на деньги купить благо В, если есть хотя бы один продавец этотго блага. 5 Для введения системы цен необходимо, чтобы все участники экономики, согласились на некоторую общую единицу измерения количества продуктов и ресурсов.

Она позволяет оценить прирост богатства каждого из участников k

z=

экономики. По определению стоимость набора благ z есть величина Коэффициент pk в этой сумме - цена товара.

Считается, что два набора имеющие одинаковую стоимость могут быть обменены друг на друга.

За передачу набора товаров (благ) x = (xi, x2,xn) R+ от участника

i участнику j, последний платит участнику i в количестве:

2~^k=nPkxk; расчетных единиц. Вектор V = (pi,V2,...,Vn) R+ - это система цен.

Предположение 1.1.3 Будем предполагать, что существует некоторый специфический товар, который может использоваться для сравнения ценности единицы любого другого товара. Ценность единицы этого товара можно принять равной единице.

История показывает, что в процессе развития экономики в качестве денег использовались различные товары.

В начале использовались специфические товары (золото, серебро), которые достаточно редки и не растрачиваются в процессе обращения, Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию в последствии стали использоваться денежные купюры (бумажные деньги).

Следовательно, выбор денежной единицы измерения и ее значение зависит от множества действующих субъектов экономики, и может меняться со временем.

В статических моделях, в которых не учитывается фактор времени, спрос и предложение потребителей не зависит от масштаба измерения цен (или уровня цен) и доходов потребителей. В этом случае, можно наложить на цены условие нормировки.

Заменим, например, цены р = (pi,p2,...,pn) R+ на цены Лр = (\pi, \р2,\pn) R+ где:

bk=i Vk Это приведет к рассмотрению неотрицательных цен с единичной суммой.

В дальнейшем, при изложении моделей распределения ограниченных ресурсов экономики и моделей рыночного равновесия, мы будем предполагать, что множество допустимых цен принадлежит симплексу

Sn определенном правилом нормировки:

1.2 Модель поведения потребителя Настоящий параграф посвящен изучению формализованной теории поведения потребителей, которая служит одним из элементов при построении позитивных и нормативных теорий распределения благ и ресурсов экономики.

1.2.1 Общая характеристика модели.

Предполагается, что потребитель выбирает лучший набор благ x среди множества доступных ему наборов. При этом, учитываются следующие физические и экономические ограничения.

Предположение 1.2.1 Выбираемые потребителем наборы продуктов и ресурсов должны принадлежать заданному для каждого потребителя множеству X.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию При определении множества Xh принимаются во внимание физические ограничения связанные с деятельностью потребителя.

Например, если рассматриваемый индивидуум только потребляет и не может осуществлять работу или предоставить услуги, то X будет представлять собой подмножество R+, состоящее из векторов с неотрицательными компонентами. Если потребитель, для удовлетворения своих потребностей осуществляет какую либо работу или продает имеющиеся у него ресурсы, то множество X может быть определено как множество пар векторов x и y из R+ которые, соответственно определяют затраты и выпуск потребителем продуктов и ресурсов в рассматриваемом периоде времени.

Предположение 1.2.2 Предполагается, что потребитель обладает ограниченным доходом R и он должен приобретать предметы потребления на рынке, на котором каждое благо имеет строго определенную цену pk.

Величина дохода потребителя может зависеть от цен p на продукты и ресурсы т (R = R(p),

R:R

R).

Таким образом, стоимость набора благ, которые потребитель покупает равна k=npkxk, а стоимость набора благ, которые он продает Л.К. - /\2к=п PkУк.

Обычно предполагается, что в рассматриваемом периоде для потребителя выполняется бюджетное ограничение:

к= к= РкХк Y РкУк + R к=1 к=1 Стоимость набора благ, которые потребитель покупает для потребления не превосходит суммы доходов получаемых потребителем от продажи имеющихся у него ресурсов и возможных для данного потребителя других доходов.

Предположение 1.2.3 Предпочтение потребителя между различными наборами благ, которые удовлетворяют его потребности представляются некоторой функцией U(x) : X — R, которую мы будем Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию называть функцией полезности или функцией удовлетворения. При этом функция полезности определена на множестве X.

Неравенство U(x1) U(x2) означает, что для потребителя набор x1 предпочтительнее, чем x2.

Равновесием для потребителя будем называть вектор x, для которого максимизируется значение функции полезности, при условии выполнения двух групп ограничений: физических (вектор x принадлежит заданному множеству X) и экономических (вектор x удовлетворяет бюджетному ограничению). В рассматриваемой модели поведения потребителя предполагается, что функция полезности U(x), вектор цен p и величина дохода R потребителя заданы экзогенно.

Перейдем к изучению основных предположений, относительно функции полезности, и допустимого множества потребителя, которые обычно делаются при анализе свойств рассматриваемой модели поведения потребителя.

1.2.2 Функция полезности и отношение предпочтения.

Краткий экскурс в историю экономической науки дает возможность лучше понять смысл, который экономисты вкладывают в термин "полезность"3 или "отношение предпочтения"4 5 Первые теории общего равновесия относятся к концу восемнадцатого началу девятнадцатого века (точнее год публикации труда Давида Рикардо Авторы этих теорий интересовались преимущественно производством и объясняли цены, стоимость и распределение доходов издержками производства и в основном количеством использованного труда.

Несомненно, производимые блага должны были иметь полезность для потребителя. Их "меновой стоимости", определявшейся через издержки, должна была соответствовать "потребительная стоимость" Однако выводы, которые вытекали из этого наблюдения, не были сделаны. Основной вклад так называемой "маржиналистской" школы заключается в том, что она объединила при анализе общего равновесия условия, которым отвечает производство, с потребностями потребителя. Теория предельной полезности была разработана Э Маленво Лекции по микроэкономическому анализу. Москва, Наука, 1985 И Экланд Элементы математической экономики Москва, Мир,1983 стр.29

Ricardo D. The Principles of Pjlitical Ecjnomy and Taxation, Nouvelle edition. Cambridge :

Cambridge University Press, 1951.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию независимо и почти одновременно тремя экономистами: англичанином Стенли Джевонсом (Stanley Jevons, 1871 г.) австрийцем Карлом Менгером (Carl Menger, 1871 г.) и французом Леоном Вальрасом (Leon Walras, 1874 г.). Возникновение этой теории было подготовлено развитием экономической мысли того времени.

Довольно естественно предположить, что индивидуум приобретает благо, только если его цена ниже потребительной стоимости. Точно также с точки зрения общества не выгодно предоставлять индивидууму благо, если издержки его производства выше его полезности для индивидуума.

Маржиналисты настаивали на том факте, что полезность заданного количества блага, которое предоставляется потребителю зависит от количества блага, которое уже у него имеется. Третий стакан воды и третье пальто обладает меньшей полезностью, чем первые. Если потребитель покупает блага по фиксированным ценам, меновая стоимость должна соответствовать предельной полезности, иными словами, полезности последнего купленного количества.

Джевонс, Менгер и Вальрас представляли полезность блага k с помощью функции «к(xj,), зависящей от потребленного количества этого блага, имеющей непрерывную производную, которая в большинстве случаев является убывающей и представляет собой по определению предельную полезность. Полезность набора благ x для потребителя в этом случае будет к=п u(x ) = ^ «к).

=1 Остановимся на этой формулировке. Изменим немного набор x.

Пусть, например, потребление блага i увеличивается на величину dxi, и потребление блага j уменьшится на величину dxj (dxi положительно, dxj, отрицательно). Полезность набора остается неизменной при условии, что потребитель безразличен к результату одновременного из менения этих двух величин, т.е.

если:

–  –  –

благом i и характеризует относительную желательность блага j по сравнению с благом i Это - дополнительное количество блага i, которое компенсирует потребителю уменьшение располагаемого им количества блага j на единицу в предположении, что эта единица очень мала. Когда условие (3.1) выполнено, потребитель приписывает одну и ту же полезность набору x и набору x + dx, если все компоненты вектора dx, кроме dxi и dxj, равны 0.

Согласно определению, выраженному равенством (3.1) предельная норма замещения блага j благом i зависит от потребленных количеств благ j и i и не зависит от количеств других благ. Последнее свойство плохо согласуется с действительностью. Например, количество воды, которое компенсирует заданное уменьшение количества вина, должно, вообще говоря, зависить от количества пива, находящегося в распоряжении потребителя.

Для того, чтобы представить нормы предельного замещения которые не обладают указанным свойством Эджворт (F.Y. Edgeworth) ввел в 1881 г. формализацию, сохранившуюся с тех пор.

Полезность u(xi, x2,...xn) есть некоторая функция n аргументов.

Если эта функция дифференцируема, то предельная норма замещения блага j благом i может быть определена как отношение dxi = д« д« (3 2) dxj dxj dxi где J;:1 и частные производные функции « по xj и xi В таком представлении предельная норма замещения является функцией всех переменных xk k = 1, 2,n.

Теория полезности по своей природе основана на логике. Она может быть применена независимо от мотивов, заставляющих потребителей осуществлять выбор, поскольку экономист рассматривает функцию полезности как заданную и не интересуется тем, как она формируется. Этот факт был не вполне ясен в начале возникновения данной теории. Ее несправедливо причисляли сначала к потребительской или гедонистской философии, согласно которой побуждением каждого человеческого действия является стремление к наслаждению или желание избежать беспокойства. В ней хотели увидеть также психологическую теорию, которая казалась в то время спорной.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию Функция полезности «(x) представляет отношение предпочтений потребителя. Основным ее свойством является то, что потребитель предпочитает выбирать xi, а не x2, если «(x1) «(x2). Функция полезности, таким образом, служит для упорядочения наборов благ по предпочтению их друг другу. Принято считать, что этот порядок определяет в какой мере различные наборы благ удовлетворяют нуждам потребителя.

Определение 1.2.4 Поверхности безразличия.

Будем называть поверхностью безразличия, соответствующей набору x°, подмножество G(x°) С Rn состоящее из векторов x, для которых выполняется равенство:

«(x) = «(x°) Существует столько поверхностей безразличия сколько значений принимает функция «(x). Два набора x1 и x2 - принадлежат одной поверхности безразличия, если потребителю безраздично, какой из наборов x1 или x2 выбрать. В этом случае выполняется равенство «(x1) = «(x2).

Очевидно, что одна и та же упорядоченная система поверхностей безразличия может соответствовать различным функциям полезности, а не только той, с помощью которой она была первоначально построена.

Если f - произвольная возрастающая функция, то функция:

U (x) = f («(x))

имеет те же и расположенные в том же порядке поверхности безразличия, что и «(x), но дает другое аналитическое представление той же системы предпочтений.

В случае, когда нас интересует, только заданная система поверхностей безразличия, мы будем говорить, что функция полезности определена с точностью до возрастающей функции.

При описании системы предпочтений в соответствии с ординалистским подходом предполагается, что отношение предпочтений потребителя задается бинарным отношением.

Замечание.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию Под бинарным отношением в математике понимают множество G С Z х Z содержащееся в множестве всех возможных пар векторов каждый из которых принадлежит множеству Z.

Такое отношение позволяет для каждой пары наборов товаров потребителя z1 Z и z2 Z определить какой из них предпочтительней для потребителя.

В дальнейшем, мы будем говорить, что набор z1 не хуже набора z2, если пара (z1,z2) G и записывать это условие: z1 У z2 Если, z1 У z2 и нельзя сказать, что z2 У z1 (набор z2 не хуже z1), тогда будем говорить, что набор z1 лучше или предпочтительнее z2 и записывать в виде z1 У z2 Предполагается, что система предпочтений потребителя обладает, следующими свойствами:

1. Полнота.

Для любых z1, z2 Z выполняется одно из двух условий: либо z1 У z2, либо z2 У z1

2. Рефлексивность.

z У z для любого z Z

3. Транзитивность.

Для любых z1,z2,z3 Z.

Если z1 У z2 и z2 У z3 то z3 У z1

4. Выпуклость.

Для любых z1,z2 Z, таких, что: z1 У z2 и для всех чисел 0 а 1: z1 + (1 —

a)z2 У z2 То есть смесь двух наборов товаров предпочтительней худшего из них.

Требование выпуклости, означает выпуклость множества векторов наборов товаров, которые не хуже данного набора.

5. Ненасыщаемость.

Если z1 Z и z2 Z и для всех координат векторов zk;1 zk;2 k = 1, 2,...,n;

Тогда: z1 У z2 Определение 1.2.5 Предпорядок Предпорядком на множестве Z называется бинарное отношение, обозначаемое У, относительно которого предполагается, что оно удовлетворяет аксиомам рефлексивности и транзитивности.

Определение 1.2.6 Предпорядок называется полным, если выполняется аксиома полноты т.е любые два элемента из множества Z сравнимы.

–  –  –

В дальнейшем мы будем предполагать, что отношение предпочтения каждого потребителя является полным предпорядком Определение 1.2.7 Непрерывное отношение предпочтения Отношение предпочтения будем называть непрерывным на множестве Z 10, если для каждого z Z оба множества Z 1(z) = {y У z} и {z У y} или, что равносильно, множества пар (z1, z2) таких, что: z1 У z2 (z1 лучше (предпочтительнее ) z2) является открытым подмножеством декартова произведения Z х Z. 11 Определение 1.2.8. Функция u(z) определенная на множестве Z называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения У, если «(z1) «(z2) тогда и только тогда, когда z1 У z2.

Теорема (Дебре).

Пусть множество Z связно, отношение предпочтения непрерывно и удовлетворяет, аксиомам (1) - (3), тогда для такого отношения предпочтения найдется соответствующая ей функция полезности. В дальнейшем, при математической записи модели поведения потребителя, будем считать, что его система предпочтений может быть задана соответствующей функцией полезности - «(z). Такое предположение, в частности, делается в курсах микроэкономики.

1.2.3 Основные свойства допустимого множества и функции полезности потребителя.

Сформулируем основные предположения относительно свойств множества допустимых наборов потребителя. Гипотезы о справедливости этих предположений являются достаточными условиями для вывода различных утверждений касающихся свойств решений модели поведения потребителя.

Чаще всего используются следующие предположения о свойствах множества векторов X, представляющих собой физически возможные наборы потребляемых благ.

–  –  –

Предположение 1.2.9 (Формы представления множества допустимых наборов потребителя.

Возможны две формы описания процесса выбора наборов распределяемых для удовлетворения потребностей потребителя продуктов и ресурсов.

В соответстви с первой формой, процессу потребления потребителя сопоставляется два набора продуктов и ресурсов.

Компоненты первого набор w R+ -wk 0 k = 1, 2,...,n, определяют значения количеств k блага, которое потребитель использует, затрачивает в процессе потребления в рассматриваемом интервале времени.

Компоненты второго набора v R+ -yk 0 k = 1, 2,...,n, определяют значения количеств k блага, которое потребитель отдает другим потребителям в обмен на блага необходимые ему для потребления. В этом случае процесс потребления или точнее процесс обмена и распределения продуктов для каждого потребителя задается парой векторов w,v R+ компоненты которых определяют соответственно, затраты и выпуск благ для данного потребителя в рассматриваемом интервале времени. Множество допустимых наборов потребления для потребителя определятся как множество всех таких пар z = (w, v), которые удовлетворяют физическим ограничениям процесса потребления для данного потребителя.

В этом случае, множество всех таких пар векторов представляет собой некоторое подмножество Z из декартового произведения R+ х R+

–  –  –

При первой форме описания компоненнты пар векторов z = (w,v) определяют спрос и предложения благ потребителем. При этом вектор w иденцифицируется с количеством покупаемых потребителем благ в рассматриваемом периоде, а вектор v с количеством продаваемых благ.

В соответстви со второй формой представления, процессу потребления потребителя сопоставляется один вектор. Компоненты

–  –  –

этого вектора x Rn -xk k = 1, 2,...,n, определяются, как разность между количествоми wk k блага, которое потребитель, затрачивает в процессе потребления в рассматриваемом интервале времени и количеством vk блага, которое потребитель отдает другим потребителям в обмен на блага необходимые ему для потребления. Таким образом, xk = wk — vk. Компоненты вектора x определяют чистые затраты или расход блага за рассматриваемый период времени, их величина может принимать как положительное так и отрицательное значение.

–  –  –

При описании процессов потребления, в статике, без учета фактора времени, как правило, используется второй подход для задания допустимого множества характеризующего спрос потребителя. В этом случае элементы из множества X определяют величину потока, благ потреблемых потребителем в единицу времени или другими словами, чистый прирост запасов благ потребителя в единицу времени. В настоящей главе при описаниии статических моделей общего равновесия мы будем придерживаться именно такого подхода и считать, что спрос и предложения потребителя задается векторов x X с Rn из n - мерного пространства. Положительному значению координаты этого вектора соответствует спрос потребителя на данное блага - отрицательному - предложение.

Однако, при описании динамических процессов, когда необходимо учитывать изменение запасов благ у потребителя в разные моменты времени, чаще используется второй подход. В частности такой подход используется в разделе (9.2), при описание динами-чекой модели экономического роста Неймана.

Предположение 1.2.10 Свойства множества допустимых значений потребителей.

Будем предполагать, что множество X выпукло, замкнуто и ограничено снизу. Оно содержит нулевой вектор.

Если в нем содержится вектор x1 X с Rn,оно содержит в себе все векторы x2 Rn такие, что:

–  –  –

Известно, что множество называется выпуклым, если вместе с векторами x1 и x2 оно содержит любой отрезок соединяющий эти точки. Это условие, которое в неявном виде обычно принимается в экономической теории, не кажется существенно ограничивающим область применения полученных результатов. Тем не менее можно указать случаи, когда это условие не выполняется. Например, некоторые блага могут быть потреблены в целых количествах. Однако, в случае когда в рассматриваемой модели речь идет о потреблении больших количеств благ замена исходного невыпуклого множества X выпуклым множеством будет приемлемым приближением.

Замкнутость X означает, что каждый вектор последовательности векторов xk k = 1, 2, 3..., xk — x сходящейся к x представляет собой физически возможный набор потребляемых благ, то и вектор x представляет собой также возможный набор благ. Это условие также нетрудно принять.

Ограниченность множества X снизу, означает, что существует вектор x, такой, что для любого x X выполняется неравенства: xk xk, k = 1, 2,...,n. Это условие не является ограничивающим, поскольку оно выполняется, когда количество труда и других ресурсов, предоставляемых потребителем ограничено сверху, а собственное потребление других благ не может быть отрицательным.

Наконец последняя фраза в гипотезе 1 означает, что потребитель всегда в состоянии принять дополнительное количество блага, даже если ему нечего с ним делать. Принятие этого предположения носит технический характер и позволяет иногда упростить доказательство утверждений касающихся существования равновесия в экономики.

Определение 3.2.11 Ненасыщаемость Состоянием насыщения потребителя назовем наиболее предпочтительное состояние x X, для которого функция полезности достигает своего максимального значения. Если такого состояния нет, то будем говорить, что потребитель ненасыщаем.

–  –  –

Предположение 3.2.12 Свойства функции полезности потребителей.

Сформулируем основные гипотезы относительно свойств функции полезности заданной на множестве допустимости потребителя X.

Выполнение этих гипотез часто предполагается при исследовании вопросов существования равновесия и свойств функции спроса потребителя.

1. Функция полезности потребителя u(x) определенная на множестве X, является непрерывной и возрастающей функцией в том смысле, что:

если xk xk k =1, 2,n, то ^(x1) u(x2), Это предположение означает, что потребитель предпочитает иметь любое благо в максимальных количествах. Следует помнить, что предложение потребителем труда и других благ считается отрицательным. Такмм образом, если благо k соответствует труду (или другому благу, которое предлагается для пользования другим участникам экономики), то неравенство xj1 x| означает, что нагрузка на потребителя при x1 меньше, чем при x2.

Это предположение исключает возможность состояния полного насыщения, при котором удовлетворение потребителя уже не мо жет возрастать.

Функция u(x) дифференцируемая, имеет производные второго порядка, а ее первые производные не могут быть все одновременно равны нулю. Это предположение обычно вводится для удобствства проведения математических рассуждений и носит технический характер.

Функция u(x) вогнутая.

Потребитель ненасыщаем.

–  –  –

1.2.4 Функция спроса потребителя.

Заданы цены p R+ продукции и ресурсов и доход потребителя R(p) в зависимости от цен. Потребитель определяет набор покупаемых и продаваемых товаров, решая следующую задачу.

Найти x Rn такой, что:

–  –  –

Множество B(p,R(p)) будем в дальнейшем называть бюджетное множество потребителя.

Определение 3.2.13 Назовем функцией спроса D(p,R) потребителя следующее многозначное отображение, всевозможных цен p R+ в пространство товаров R+.

D(p,R) = {x | x B(p,R), u(x) = max (3.6) zX (p,R В общем случае, когда функция полезности непрерывная, но необязательно строго вогнутая, а допустимое множество потребителя X не ограничено, возможны следующие случаи решения задачи (3.3)

- (3.5) Решение задачи (3.3) - (3.5) не существует, так как функция полезности не достигает максимального значения на множестве X(p, R). В этом случае множество значений функции спроса D(p, R) (3.6) пусто. Функция спроса при этих ценах не определена и равновесие потребителя не возможно.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л.

Лекции по экономическому моделированию Множество значений функции спроса D(p, R) содержит единственный вектор. В частности, это верно в случае, если множество X(p, R) выпуклый компакт, а функция полезности строго вогнутая.

Функция спроса D(p, R) принимает много значений. Например, можно показать, что множество решений задачи (3.3) - (3.5) в случае, когда допустимое множество потребителя X выпуклое, а функция полезности вогнутая (не обязательно строго вогнутая) является выпуклым множеством, которое может содержать не единственную точку.

Определение 1.2.14 Функцию f : X с Rn — R называют однородной степени j, если для любого Л 0 и x X:

f ^) = f (x) Будем предполагать, что функция дохода потребителя R(p) однородная первой степени.

Тогда точечно множественное отображение B(p,R) и многозначная функция спроса потребителя D(p, R) являются однородными нулевой степени.

(Лр, ЛR) = D(p, R); (Лр, ЛR) = D(p, R);

Это утверждение выражает тот факт, что спрос и предложение потребителя зависит только от соотношения цен, но не от масштаба их измерения.

При построении, той или иной частной модели экономики делают различные предположения относительно функции полезности u(x), множества X допустимых наборов потребления, и функции дохода R(p) и соответствующим этим предположения свойств функции спроса D(p,R). ' Приведем пример модели поведения потребителя для которой можно вычислить функцию спроса потребителя из решения задачи (3.3) - (3.5).

Будем предполагать, что:

• Функция полезности строго вогнутая и непрерывнодифференцируемая. При этом 5м dxfc

–  –  –

Множество X выпуклый компакт. Будем предполагать, что это множество содержит нулевой вектор x = 0 Rn.

Цены всех продуктов pk 0, k = 1, 2,...,n больше нуля.

Функция дохода R(p) положительная для любого набора цен p.

Так как функция полезности строго вогнутая, а множество допуситимых наборов потребителя ограничено и выпукло, то решение задачи (3.3) - (3.5) при этих предположениях существует и единственно для любых цен. Обозначим это решение x*(p,R).

Построим функцию Лагранжа для задачи (3.3) - (3.5):

–  –  –

Согласно теореме Куна Таккера, 13 существует такое число Л*, что пара x*(p, R), Л* является седловой точкой для функции Лагранжа задачи на множестве:

–  –  –

1.3.1 Производственное множество и производственная функция.

Производственная деятельность каждого предприятия, фирмы сопровождается выпуском продукции и затратами потребляемых в процессе производства ресурсов. Будем считать, что количество наименований продуктов выпускаемых всеми участниками производственного сектора экономики конечно и равно N. Точно также, будем считать, что количество наименований ресурсов производства предоставляемых предприятиям, также равно n.

Обозначим v = (vi, v2,vn) - вектор, координаты которого определяют объемы производства продукции фирмы для продажи, u = u2,...,un) - вектор, координаты которого определяют объемы затрачиваемых в процессе производства ресурсов покупаемых у потребителей.

Каждый производственный процесс можно охарактеризовать парой векторов z = (v,u) v R+, u R+ определяющих соответственно выпуск продукции и затраты ресурсов фирмы при реализации этого процесса.

В дальнейшем для характеристики производственных процессов мы будем использовать наборы векторов чистой продукции.

Каждому производственному процессу заданному парой векторов z = (v,u) v R+, u R+ можно сопоставить вектор чистого выпуска y Rn.

При этом, чистый выпуск блага k при реализации производственного процесса по определению равен:

–  –  –

Будем в дальнейшем считать, что для каждой фирмы задано множество Y С Rn возможных наборов y Y продуктов и ресурсов, которые необходимо продать и купить для реализации процесса производства.

Множество Y в дальнейшем будем называть производственным или технологическим множеством фирмы, а каждый вектор y Y будем называть вектором выпуска чистой продукции или просто вектором производства фирмы.Каждая точка производственного множества представляет собой возможный способ производства; при этом отрицательные координаты соответствуют затратам, положительные координаты выпускам, а нулевые координаты остальным товарам.

–  –  –

2. Гипотеза делимости Если вектор у Y и если а число между 0 и 1, то вектор ау Y, также определяет возможный чистый выпуск. Эта гипотеза предполагает возможность сокращения всякого производства и осуществление его в меньших масштабах при сохранении пропорций между затрачиваемыми ресурсами и выпускаемой продукцией. Из этой гипотезы, в частности, следует, что возможен нулевой вектор чистого выпуска 0 Y С Rn. То есть допускается для каждого предприятия отсутствие всякого производства.

3. Гипотеза выпуклости Если векторы у1 и у2 определяют два возможных выпуска чистой продукции (у1 Y, у2 Y), и если а число между 0 и 1, то вектор ау1 + (1 — а) Y определяет возможный выпуск чистой продукции.

Очевидно, что делимость и аддитивность влекут за собой выпуклость. И так как нулевой вектор принадлежит производственному множеству, из выпуклости следует делимость. 14 При исследовании проблемы распределения ограниченных ресурсов экономики и при анализе функции предложения фирмы как функции цен, мы будем предполагать что производственное множество выпуклое.

4. Гипотеза ограниченности производственного множества

–  –  –

Определение 1.3.3.

Способ производства у Y будем называть эффективным, если не существует другого технологического способа производства v Y для которого выполнены неравенства:

–  –  –

Другая запись модели предполагает, что известна обобщенная производственная функция.

Заданы цены p R+ ищется набор чистых выпусков производства y такой, что:

–  –  –

Материальной основой поступательного развития человеческой цивилизации является прогресс общественного производства.

Производство в любой стране и во все исторические эпохи, представляет собой процесс воздействия человека на предметы и силы природы и приспособления их к удовлетворению тех или иных потребностей.

Оно всегда предполагает взаимодействие трех факторов: рабочей силы человека, предметов труда и средств труда.

В каждом конкретном случае результатом производства выступает единичный продукт: хлеб, ткани, станки, автомобили и т. д. Но экономическая наука имеет дело не с единичным продуктом и не с каким то конкретным производственным процессом, а с общественным производством, результатом которого выступает общественный продукт.

Валовой (совокупный) общественный продукт представляет собой сумму всех потребительских стоимостей, созданных в обществе за определенный период. Он может быть охарактеризован как сумма продукции отдельных производителей, первичных звеньев народного хозяйства (предприятий, объединений) за этот промежуток времени (обычно год).

В состав общественного продукта входят разнообразные материальные и нематериальные блага и услуги. Они создаются в различных сферах и отраслях экономики.

Различают следующие четыре стадии движения общественного продукта: производство, распределение, обмен и потребление Связь производства, распределения, обмена и потребления может быть схематически изображена следующим образом.

–  –  –

Все выше названные стадии движения общественного продукта образуют части единого целостного процесса, соединены между собой прямыми и обратными связями.

Производство - исходный пункт, в котором возникает создается сам продукт и с которого начинается его движение. В процессе производства человек приспосабливает вещества и силы природы к удовлетворению своих потребностей. Решающая роль производства состоит в том, что распределить, обменять и потребить можно лишь продукты, предварительно созданные трудом.

Между производством и потреблением существует сложная, диалектически противоречивая связь. При всей важности производства оно имеет смысл только тогда, когда служит потреблению.

Производство ради производства бессмысленно. Потребление образует цель и одновременно движущий мотив производства.

Распределение и обмен опосредствует связь между производством и потреблением, образует своеобразный механизм их взаимодействия.

Обмен опосредствует связь между производством и распределением, с одной стороны, и потреблением - с другой. Обмен как и распределение совершается и в самом производстве (в виде обмена деятельностью и способностями), и вне его, представляя собой самостоятельную функцию в движении продукта.

В первом случае, то есть при обмене деятельностью и способностями, речь идет об отношениях между работниками связанными последовательнымм выполнением производственных Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 44 Конкурентное равновесие.

операций. Так, при сборке, например, атомобиля результат достигается совместными, дополняющими друг друга усилиями большой группы работников разных цехов и специальностей, между которыми и происходит обмен деятельностью.

Обмен продуктами призван доставлять каждому участнику производства, каждому его звену определенные блага в соответствии с долей, устанавливаемой распределением. Хорошо налаженный обмен обеспечивает непрерывность и согласованность производства, а любые нарушения на этой стадии ( скажем срыв договорных обязательств одного предприятия по поставкам комплектующих деталей другому) подрывает нормальный его ход, отрицательно сказывается на конечных результатах.

Потребление является завершающей стадией движения продукта.

Потребление бывает двух видов. Производственное потребление сжигание угля в паровом двигателе, расход металла при изготовлении машин, превращение муки и теста в готовый хлеб и т.п.

Личное потребление, в процессе которого пища, одежда, жилье, предметы культурно бытового назначения используются человеком для удовлетворения своих потребностей, представляет собой самостоятельную конечную стадию движения продукта. Начав движение с производства, продукт сразу (хлеб) или постепенно (телевизор) исчезает в потреблении, обеспечивая при этом воспроизводство самой жизни человека и его деятельности.

Производственные отношения представляют собой общественную форму производства и распределения, благодаря которой происходит присвоение людьми предметов природы и использование ее полезных для людей явлений и свойств. Определяющем из них является отношение собственности.

Собственность -это исторически определенная форма присвоения материальных благ, прежде всего средств производства. Собственность всегда имеет свой объект (средства производства предметы потребления и т.д.), или так называемое вещественное содержание. Но характер собственности определяется не натуральными свойствами приЛ.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 45 Конкурентное равновесие.

сваиваемых вещей, а природой общественных отношений складывающихся по поводу этих вещей.

Следует различать собственность как экономическую категорию и право собственности. В экономическом смысле собственность есть форма имущественного обособления людей в общественном производстве, возникающая под влиянием определенного уровня развития производительных сил и обуславливающая определенную систему производственных отношений. Право собственности совокупность юридических норм, законов принятых государством с целью охраны данной формы собственности.

Решающую роль в обществе имеет присвоение средств производства. Собственность на средства производства является основой присвоения предметов потребления.

Высшей формой частной собственности является капиталистическая собственность, при которой средства производства принадлежат капиталистам и используются для эксплуатации наемных рабочих, лишенных средств производства и потребления и вынужденных поэтому продавать свою рабочую силу как товар.

Накопление прибавочной стоимости ведет к концентрации капитала в руках отдельных капиталистов, а в ходе конкурентной борьбы происходит централизация капитала в руках все меньшего числа капиталистов Это противоречие, отчасти, разрешается путем развития акционерной формы капитала, ставшей господствующей формой капиталистических предприятий в настоящее время.

Одним из выражений этого же противоречия является рост государственной капиталистической собственности, возникаюшей в результате организации государственных предприятий, главным образом для военных целей, а также для обслуживания класса капиталистов в целом, и в результате национализации отдельных предприятий и целых отраслей промышленности, транспорта и банков, осуществленных в интересах монополий.

Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 46 Конкурентное равновесие.

Существенное влияние на процессы распределения продукции и доходов оказывает государство через систему налогообложения и в процессе формирования и распределения бюджета.

Предметом исследования экономики как науки являются, с одной стороны, основные операции - производство, распределение и потребление благ, а с другой - институциональные структуры и процессы, преследующие цель облегчить эти операции.

Как наука позитивная, предназначенная для объяснения явлений, экономика должна анализировать поведение участников экономического процесса, обладающих некоторой свободой действий, но подчиняющихся ограничениям, налагаемых на них природой и обществом. Она должна изучать последствия, которые оказывают эти индивидуальные действия на общее состояние общества.

2.1.2 Проблема распределения продуктов и ресурсов экономики.

–  –  –

1. Вектор xh принадлежит заранее заданному множеству Xh С Rn, зависящему от рассматриваемого потребителя h. При определении множества Xh принимаются во внимание физические ограничения связанные с деятельностью потребителя. Например,если рассматриваемый индивидуум только потребляет и не может осуществлять работу или предоставить услуги,

–  –  –

Настоящая глава посвящена изучению условий, в силу которых решения, принимаемые различными участниками экономического процесса, оказываются в конце концов совместимыми и приводят к равновесию для всех участников, называемому общим равновесием.

Определение 2.1.2 Принято говорить, что имеет место совершенная конкуренция, если цена каждого блага едина для всех участников и любых сделок, если каждый участник рассматривает эти цены независимыми от его собственных решений и если он чувствует, что может приобрести или продать по этим ценам любое количество благ.

При изучении модели общего равновесия Вальрас будем предполагать, выполнение условий совершенной конкуренции. Кроме того будем придерживаться гипотез, принятых в предыдущих главах относительно поведения потребителей и производителей. 1 Определение совершенной конкуренции, данное выше, достаточно для обсуждения теоретической модели распределения имеющихся ресурсов между участниками экономики в условиях совершенной конкуренции, но не достаточно для выявления типов конкретных ситуаций, для которых такое распределение осуществляется, так как оно не определяет требуемых условий для реализации конкурентного равновесия.

Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 51 Конкурентное равновесие.

В настоящее время, нельзя ответиь прямо и окончательно на вопрос о области применимости модели общего равновесия при совершенной конкуренции. Основная гипотеза совершенной конкуренции заключается в том, что цены различных благ являются заданными для каждого отдельно взятого участника экономики, и каждый участник может купить и продать по этим ценам, столько, сколько он захочет.

При наличии монополистических или олигополистических структур более естественным является поведение "ценообразователей".

Это означает, что предприятия, господствующие на рынке, не принимают цены как таковые, и извлекают выгоды из возможности в некоторой степени влиять на цены. И в этих условиях, предположения о наличии совершенной конкуренции, очевидно, не выполняются.

Модель общего равновесия Вальраса изучает экономику распределения и обмена в полностью дезагрегированном виде. Ее исходными компонентами являются отдельный производитель (фирма, предприятие и т.д.) и отдельный потребитель (частное лицо, домашнее хозяйство) Общая структура моделей равновесия такова: субъекты экономической системы -производители и потребители, действуя в эгоистических интересах составляют индивидуальные планы производства и потребления продукции. Этот процесс описывается моделями поведения участников экономики. Принимаемые каждым из экономических агентов планы производства и потребления продуктов и ресурсов зависят от имеющихся технологий производства и потребления, системы предпочтений, системы распределения доходов и системы цен. Если технологии, системы предпочтений и системы распределения доходов фиксированы, то существенной оказывается только система цен.

Пусть известна система цен.

Может оказаться, что при данной системе цен решения потребителей и производителей несовместны:

например, потребители решают потребить больше, чем производят производители при данной системе цен, или, наоборот, потребители решают потребить меньше, чем могут произвести производители. Это Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 52 Конкурентное равновесие.

означает, что спрос (план потребителей) при данной системе цен не соответствует предложению (плану производителей).

Первый вопрос, на который нужно ответить, - вопрос существования состояния равновесия. То есть существуют ли цены на товары и продукты, такие что суммарное их предложение всеми субъектами экономики не меньше суммарного спроса.

Следующая проблема - достижимо ли состояние равновесия, то есть достигнет ли экономика такого состояния в том случае, если первоначально она в нем не находилась.

Наконец, последний важный вопрос - насколько эффективно состояние равновесия с точки зрения общего благосостояния, т. е.

насколько оправдано предположение А. Смита, согласно которому, действуя из эгоистических побуждений экономические агенты добиваются максимального повышения общего благосостояния, хотя непосредственно это не входит в их намерение.

Основные результаты о существовании конкурентного равновесия были получены А.Вальдом (1933- 1936) и Джоном фон Нейманом (1937). Позднее Мак Кензи, К. Эрроу и Г. Дебре, Х. Никайдо, Х Удзава нашли более простые и общие способы доказательства существования равновесия.

Основные предположения модели общего равновесия Вальраса Выбор набора продуктов и ресурсов используемых каждым участником экономики зависит только от цен и не зависит от выбора других участников экономики и от общего количества ресурсов.

Цены на все товары одинаковы для всех покупателей. Это предположение подразумевает, по крайней мере, наличие у каждого потребителя информации о имеющихся ценах.

При построении моделей общего рановесия типа Вальраса не учитывается фактор времени или возможность изменения цен в процессе реализации различных сделок купли продажи одной и той же продукции с разными потребителями.

Основные результаты анализа модели общего равновесия, состоящие в доказательствах существования равновесия, показывают, Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 53 Конкурентное равновесие.

что осуществление этого равновесия возможно лишь при согласованных действиях всех участников моделируемой экономической системы. Сам Вальрас и другие авторы утверждали, что подобное согласование в конкурентной экономике достигается при помощи рынка товаров, осуществляющих необходимую увязку спроса и предложения и цен на товары.

Основной вывод из анализа модели Вальраса указывает, что равновесие существует только при условии, что первоначальное распределение ресурсов и доходов между участниками экономики задано и не меняется во времени. Само понятие равновесия в модели Вальраса понимается как статическое (не зависящее от времени) состояние экономической системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.

Однако, на практике в результате изменения во времени доходов и перераспределения ресурсов между участнками экономики, такое статическое равновесие неизбежно меняется.

Кроме того, равновесие в модели Вальраса зависит от начального распределения ресурсов между участниками экономики и его осуществление может привести к значительной дифференциации населения по уровню благосостояния, что противоречит принципам социальной солидарности и справедливости.

Это указывает на необходимость существования некоторых механизмов регулирования и согласования экономической деятельности для достижения равновесных состояний приемлимых для всего сообщества участников экономики в целом.

Практически, такое регулирование экономики осуществляется в разных странах с использованием различных процедур планирования и регулирования экономики и, в частности, при обосновании бюджетной, налоговой и денежно-кредитной политики государства.

Обычно при построении модели Вальраса предполагается, что экономика состоят из двух секторов: производственного и сектора потребления. Последний можно представить как совокупность всех индивидуумов, составляющих общество, а также, учреждений не участвующих непосредственно в производстве. В частности, такой Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 54 Конкурентное равновесие.

подход используется в модели Эрроу-Дебре, подробному изложению и анализу которой посвящён раздел (4.3) настоящей работы Производственный сектор состоит из отдельных отраслей фирм и индивидуумов, выступающих в качестве производителей товаров. Один и тот же субъект экономики может фигурировать и как производитель и как потребитель.

Товары обращающиеся в данной системе, также имеют двоякий характер. Одна группа товаров, назовем их продуктами, характеризуется тем, что каждый из них может быть произведен в производственном секторе: металл, машины, электроэнергия и т.п. Другая группа товаров, называемая первичными ресурсами (факторами), состоит из таких, которые производственным сектором не выпускаются: труд, земля и т.п.

Первичные ресурсы и факторы производства находятся в собственности потребителей, которые их продают с целью приобретения продуктов производства.

Потребитель, находясь в рамках бюджетных ограничений, стремится получить максимальное удовлетворение (полезность) от выбираемого им набора продуктов. Поведение производителей характеризуется стремлением максимизировать прибыль от производства, являющуюся разностью дохода от продажи произведенных продуктов и затрат на приобретение первичных ресурсов и продуктов, произведенных другими фирмами, необходимых для осуществления производства.

Итак, в модели предполагается, что каждый из участников экономической системы максимизирует некоторую величину при определенных ограничениях, при этом и целевая функция и ограничения, и, следовательно, спрос и предложение участника зависят от цен на продаваемые в экономической системе продукты и первичные ресурсы.

Вопрос о ценах является центральным вопросом в моделях рыночного равновесия.

Предполагается, что каждый из участников экономики пассивно приемлет существующую систему цен не пытаясь на нее влиять.

Указанное предположение модели Вальраса выполняется для экономики Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 55 Конкурентное равновесие.

капиталистической основанной на праве частной собственности, в условиях "совершенной" конкуренции. Кроме того, это предположение естественно для плановой экономики, когда цены на продукцию и ресурсы контролируются государством. Однако, это предположение не выполняется в экономике капиталистической, с наличием монополий и олигархией.

Цены на продукты и первичные факторы называются равновесными, если производители и потребители, действующие наилучшим для себя образом, учитывая при этом бюджетное ограничение, обеспечивают такое состояние экономики, когда спрос на каждый продукт и фактор не превосходит его предложения.

Следует отметить, что в различных модификациях модели Вальраса не всегда делают различие между продуктами производства и первичными факторами. Иногда их объединяют в одно понятие продукта и обозначают единым вектором. Это зависит от подробности описания производственного сектора - существуют ли в нем промежуточные продукты, используемые вновь в работе этого сектора, или же всякий процесс выдает конечный продукт непосредственно из первичных факторов.

Кроме того, в дальнейшем 2 мы будем рассматривать модель, в которой действующ-ме субъекты экономики не разделяются на два сектора : производство и потребление, и будем считать, что каждый из субъетов экономики участвует в процессе распределения ресурсов как потребитель. При этом, в этой модели предполагается заданным множество допустимых наборов совокупного предложения продуктов и ресурсов, распределяемых между потребителями.

В настоящее время известно множество моделей равновесия типа Вальраса, которые отличаются друг от друга, способами моделирования поведения участников экономики, распределения доходов и собственности между ними и балансовыми соотношениями определяющими соотношение спроса и предложения.

Л.К. Суровцов 29.4.2008 Математическая экономика стр. - 56 Конкурентное равновесие.

2.2 Общая модель рыночного равновесия Вальраса.

Целью теории общего равновесия является объяснение того, как устанавливаются цены, по которым блага обмениваются на рынках. Эти цены считаются заданными экзогенно при формализации поведения каждого отдельно взятого участника экономики и рассматриваются как эндогенные переменные, обеспечивающие баланс совокупных спроса и предложения.

Теория конкурентного равновесия позволяет понять главные составные части которые в неуправляемой централизовано экономике характеризуют, с одной стороны, производство, распределение и потребление, с другой стороны формирование цен.

При изучении моделей общего равновесия, принято считать, что выполняются условия совершенной конкуренции, то есть предполагается, что цена каждого блага едина для всех участников и любых сделок, каждый участник рассматривает эти цены независимо от его собственных решений и он может приобрести или продать по этим ценам любое количество благ.

Ниже дается краткое описание наиболее общей из существующих в настоящее время моделей рыночного равновесия в условиях совершенной конкуренции.

Рассмотрим экономическую систему, субъектами которой является H потребителей n типов благ или, другими словами, продуктов, ресурсов, товаров.

Предполагается, что количества каждого из этих благ можно измерять с использованием некоторых единиц измерения. Так, что можно говорить о x единицах элементарного блага. Некоторые из элементарных благ определяются не только их физическим свойствами, но также другими характеристиками, такими как его место расположения или датой, когда оно используется.

Услуги, также могут рассматриваться как элементарное благо постольку, поскольку они могут быть измерены в каких либо единицах измерения.

–  –  –

Условие Вальраса (4.2) означает, что количество денег затрачиваемых потребителем на покупку ресурсов не меньше стоимости (ценности) этих ресурсов.

В дальнейшем, это условие будем называть индивидуальным бюджетным ограничением или условием Вальраса для потребителя.

Следует понимать, чт условия Вальраса всегда выполняется, если обмен продуктами и ресурсами осуществляется посредством купли продажи за деньги и деньги одновременно выполяют функции всеобщего средства платежа и счета ценности благ.

То есть предполагается, что в рассматриваемой экономики существует некоторый товар (благо) который выполняет функции денег, т. е служит всеобщим для всех потребителей средством платежа за приобретение товаров и средством счета ценности каждого товара.

При наличии всеобщего платежного средства прямой обмен одного блага на другое (бартер) заменяется двумя актами: продажей товара за деньги и покупкой на них другого товара. 4 Переход от бартера к купле - продажи облегчает товарообмен за счет того, что индивиду, желающему обменять благо А на благо В, не нужно искать индивида, желающего обменять благо В на благо А. Благо А можно продать за деньги, если есть хотя бы один покупатель блага А, и на деньги купить благо В, если есть хотя бы один продавец этого блага.

Как средство счета деньги являются мерой ценности благ, в них выражаются цены товаров. Использование денег в качестве средства счета, означает возможность измерения количества благ в количестве денег, затрачиваемых или получаемых соответственно при их покупке или продажи.

Использование денег в качестве средства платежа и средства счета многократно упрощает и облегчает обмен товарами, т.е. снижает трансакционные затраты (расходы на осуществление меновых операций.

При этом, во всех странах наблюдается общая тенденция использовать в качестве средства платежа и средства счета один и тот же вид денег.

Однако, в периоды высокой инфляции в качестве средства счета обычно используется стабильная иностранная валюта, а в качестве средства

–  –  –

Это предположение означает, что для каждого набора цен p общий доход от продажи имеющихся ресурсов полностью распределяется между потребителями.

Для более ясного понимания экономического содержания рассматриваемой модели, предположим, что помимо H потребителей и независимо от них существует множество агентов-распределителей, обладающих запасами исходных ресурсов из множества M которые они продают по таким ценам, чтобы потребители могли раскупить в полном объеме все запасы продаваемых ресурсов. Будем для простоты предполагать, что для каждого блага существует один агентраспределитель. Это предположение равносильно обычному предположению условий совершенной конкуренции: цены на одноименные продукты для всех субъектов экономики одинаковы и не зависят от объемов покупок и продаж каждого потребителя.

Таким образом, модель Вальраса идеализирует коммерческие операции в сообществе, в котором производство и распределение доходов производятся вне рынка, а обмен сводится к купле продажи товаров на рынке, при этом цены устанавливаются так, чтобы потребители конкурируя между собой, могли раскупить в точности всю массу произведенных благ.

2.2.3 Определение состояния равновесия.

–  –  –

Таким образом, ценам равновесия в модели Вальраса соответствуют неотрицательные значения функции избытка спроса. Эти цены, которым Адам Смит приписывал свойства невидимой руки обеспечивают допустимое распределение ограниченных ресурсов между потребителями, в условиях когда выбор каждого потребителя о объемах потребляемых благ определяется им независимо от выбора других потребителей и основан только на учете информации о ценах, которые в свою очередь определяются условиями баланса совокупных спроса и предложения для экономики в целом.

Замечание.

Важно понимать, что цены равновесия и соответствующее этим ценам распределение ресурсов между потребителями зависит от экзогенно заданного распределения общего дохода от предложения ресурсов между потребителями лишь бы выполнялось условие ^H=1 rh(p) = oM(p), т.е. общий доход от продажи ресурсов полностью распределяется между потребителями.

Другими словами, возможно существование множества состояний равновесия в модели Вальраса соответствующих различным функциям распределения доходов между потребителями rh(p) h =1, 2,H; rh(p) = °M(p).

Модель Вальраса ни как не отвечает на вопросы является ли полученное равновесное распределение справедливым или нет.

2.2.4 Теорема существования равновесия в модели Вальраса.

Можно доказать существование цен равновновесия в модели Вальраса, используя различные теоремы о существовании нуля и неподвижной точки точечно множественного отображения 7.

При этом желательно использовать такие теоремы, доказательство которых основывается на выполнение предположений, имеющих понятное экономическое содержание. Это возможно.

В дальнейшем, будет показано, что существование равновесия гарантируется, если для для каждого потребителя выполняется бюджетное ограничение или условие Вальраса.

–  –  –

(4.14) Тогда существует цены равновесия в модели Вальраса p и допустимое распределение благ потребителей xh е Dh(p, (p,wh)) для которых выполняются неравенство В действительности Леон Вальрас, и другие экономисты рассматривали частный случай, представленной модели, когда функции спроса потребителей определяются условиями максимизации функции полезности при выполнении бюджетных ограничений:

Dh(p,r) = \ x е Xh (p,x) r, Uh(x) = sup Uh(y)\ (4.15) (p,y)r ' Очевидно, что определенная таким образом функция спроса потребителей удовлетворяет индивидуальному бюджетному ограничению Вальраса.

Теорема 2.2.

15 Эрроу-Дебре.

Пусть функции спроса dh(p, r) и функции дохода rh(p) h = 1, 2,...,H H по-требителей непрерывны Множество ресурсов M замкнуто, выпукло, ограничено сверху и удовлетворяет условию M = M — R+.

H функций дохода rh(p) h = 1, 2,H потребителей удовлетворяют условиюТ;H=1 rh(p) OM (p).

Для каждого потребителя выполняется индивидуальный закон Вальраса, (p,dh(p)) rh(p) г = l, 2,...,H тогда существует равновесие в модели Вальраса Очевидно, что сформулированная выше теорема Эрроу - Дебре является следствием теоремы (4.2.12) приведеннй выше.

Замечание. Закон Вальраса Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию Из доказательства теоремы (4.2.12) следует, что для существовании равновесия достаточно выполнение коллективного условия Вальраса для всех потребителей и не обязательно выполнение индивидуальных условий Вальраса для каждого потребителя в отдельности.

HH (p, dh(p, rh)) rh h=l h=l Эта теорема является прототипом многих теорем, доказанных при исследовании разных моделей общего равновесия экономики.

Выше была приведена теорема, утверждающая существование равновесия в общей модели Вальраса при некоторых предположениях.

трудно понять, что может существовать несколько положений равновесия зависящих от исходного распределения доходов, получаемых потребителями после продажи предлагаемых ресурсов.

2.3 Модель Эрроу Дебре Частным случаем изложенной выше общей модели Вальраса является широко известная модель Эрроу - Дебре.10 Ниже мы изложим на формальном уровне модель Эрроу - Дебре.

В этой модели предполагаются, что экономическую систему, составляют две гуппы участников: H потребителей продуктов и собственников первичных ресурсов и F участников производственного сектора (производителей) c n типами товаров.

Продукты производства и первичные ресурсы на данном уровне общности не различаются.

Будем предполагать, что каждый участник производственного сектора экономики (производитель) характеризуется множеством Yk С Rn k = 1, 2,...,F; производственных планов.

Каждый потребитель характеризуется множеством Xh С Rn h = 1, 2,...,H; допустимых для него векторов потребления, и функцией полезности uh(x) : Xh — R, h = 1, 2,..., H, определяющей систему индивидуального предпочтения товаров для данного потребителя из допустимого множества.

Предполагается, что общий объем товаров распределяемых между всеми потребителями задан вектором b е R+ координаты, которого bk k = 1, 2,...,n. И этот вектор известен.

–  –  –

Производитель характеризуется множеством Yf С Rn, f = 1, 2.,,,, F возможных производственных планов и функцией предложения Sf (p) f = 1, 2,...,F;

Sf(p) = {y е Yf : (p,y) = max(p, z)} zeYf Координаты векторов y е Yf С Rn - yk определяют объемы чистой продукции k -ого наименования для предприятия f.

–  –  –

^зовем совокупным технологическим множеством Y сумму:

Нетрудно доказать, что так определенное совокупное технологического множества производственного сектора и функция совокупного предложения удовлетворяет условию:

f=F S(p) ={y е Y : (p,y) = MAX(p, z) = У2 MAX(p, zf)} (4.16) Таким образом, весь производственный сектор можно характеризовать совокупным технологическим множеством и функцией совокупного предложения, забывая об отдельных производителях.

2.3.1 Допустимое множество и функция предложения ресурсов в модели Эрроу-Дебре.

Рассмотрим множество b + Y, где Y - совокупное производственное множество, b - совокупный начальный запас ресурсов принадлежащих потребителям.

b+Y представляет собой множество всех наборов товаров, которые могут быть предложены для продажи потребителям.

При описании общей модели Вальраса (см. раздел (4.2) это множество называлось "множество предлагаемых ресурсов" и обозначалось буквой M (см.(4.1).

То есть, для модели Эрроу Дебре M=b+Y Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию Также как для модели Вальраса определим функцию общего дохода для модели Эрроу-Дебре.

OM(p) = MAX(p, z) = (p, b) + MAX(p, y), которая позволяет рассчитать в денежном выражении общую ценность продуктов и ресурсов распределяемых между всеми участниками экономики.

Кроме того, введем функцию совокупного предложения модели ЭрроуДебре:

S(p) = {z е Y + b | (p,z) = OM(p)} Функция общего предложения зависящая от цен p е Pn и интерпретируется, как совокупное предложение продуктов и ресурсов предлагаемых потребителям.

Вектора z е S(p) масимизирует значение функции (p, z) на множестве M при фиксированных ценах p Очевидно, что при умножении цен на любое положительное число, множество векторов максимизирующих значение функции (p, z) не изменится. Отсюда следует Утверждение 4.3.1 Множество значений функции предложения не зависит от масштаба измерения цен.

Функция предложения явлеется однородной первой степени функцией цен p, или для любого положительного числа X 0:

S(Xp) = S(p) VX 0 Координата Sk (p) k = 1, 2,...,n векторной функции S (p) опрелеляет совокупное предложение блага с номером k.

В общем виде функция совокупного предложения S(p) может принимать не одно а множество значений.

Обозначим X = (x1,x2,...xH) набор векторов x = (x1,x2,...xH) где xh е Xh, h = 1, 2,...,H, координаты xk,h которых определяют количество элементарного блага k распределяемых потребителю с номером h.

Каждый такой набор векторов будем называть распределением элеметарных благ между потребителями в модели Эрроу-Дебре.

Ясно, что невозможно никакое распределение, при котором суммарный объем распределяемого продукта больше, объема имеющегося или произведенного продукта.

–  –  –

Будем называть распределение X допустимым, если существует вектор

y е Y такой, что:

k=H xk b + y.

Обозначим, множество всех допустимых распределений - X.

–  –  –

11 см. раздел 4.2, стр. 126 Будем предполагать, что значения функции спроса каждого потребителя удовлетворяют бюджетному ограничению или, другими словами, условию Вальраса:

k=n kxk rh(p) Vx G Dh(p) С Xh с Rn (4.17) k=1 В модели Эрроу - Дебре предполагается, что функция дохода rh(p) h = 1, 2,...,H; каждого потребителя h h = 1, 2,...,H складывается из двух величин:

доход от продажи начального запаса товаров потребителя bh = i=n (bi,h,b2,h,...,bn,h), стоимость которого равна (p, bh) = Y Pibi,h i=1 и некоторого дохода Ih(p) возникающего в результате участия потребителя h в распределении доходов производственного сектора.

Таким образом rh(p) = (bh,p) + h(p);

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию Будем считать, что весь доход производственного сектора делится между потребителями.

h=H Это значит, что Y Ih(p) = (p,y) для произвольного y G G(p) (см формулу (4.16) h=1 на стр.

138 В дальнейшем, будем предполагать, что в модели Эрроу - Дебре функции спроса потребителей определяются условиями максимизации заданной функции полезности при выполнении бюджетных ограничений:

Dh(p,r) = \x G Xh (p,x) r, uh(x) = sup iih(y)\ (4.18) (p,y)r ' Очевидно, что определенная таким образом функция спроса потребителей Dh(p,r) удовлетворяет индивидуальному бюджетному ограничению Вальраса. И кроме, того она является однородной первой степени функцией цен и дохода потребителя.

2.3.3 Определение состояния равновесия Определение 2.3.2 Набор (У)1,У)2,...,yF, x1,x2,...,xH, p) называется конкурентным равновесием в модели Эрроу-Дебре, если Vf G Sf(p) = {y G Yf | (p,y) = sup(p,z);\ f =1,F; (4.19) Xh G Dh(p,rh(p)) = \ x G Xh (p,x) r, Uh(x) = sup Uh(y) \ h =1,H; (4.20) Конкурентное равновесие. При этом, выполняются условия баланса спроса и предложения:

f=F h=H h=H + Е bh Y xh, (4.21) f=1 h=1 h=1 f=F h=H h=H Y.(P,yf) + Y.(P,bh) = Y.(P,xh); (4.22) f=1 h=1 h=1 Определение 2.3.3 Вектор p - компонента конкурентного равновесия называется вектором равновесных цен.

Где:

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию Sf(p) = {y G Yf :(p,y) = max-fa z)} zeYf Dh(p,r) = Ix G Xh (p,x) r, Uh(x) = sup Uh(y)\ (4.23) Поясним смысл всех ограничений определяющих равновесие в модели Эрроу-Дебре.

Условие (4.19)- (4.20) - означают, что каждый из участников рассматривает цены p* как заданные, действует наилучшим для себя образом.

Левая часть соотношения (4.21) представляет собой совокупное предложение, а правая совокупный спрос на товары. Словесная формулировка этого соотношения такова: спрос не должен превышать предложение.

Соотношение (4.22) означает, что стоимость купленных товаров равна стоимости проданных, или другими словами, совокупный спрос на деньги со стороны всех продавцов товаров равен совокупному предложению денег покупателями. Отсюда в частности вытекает, что если в (4.21) по какой либо компоненте k имеет место строгое неравенство, т.е. предложение k - ого товара превышает спрос на него, то соответствующая компонента p*k вектора равновесных цен равна 0, т.е. k-ый товар является свободным.

Определение 2.3.4 Назовем функцией совокупного спроса в модели

Эрроу – Дебре отображение D(p):

h=H D(p) = Y Dh(p);

h=1 Нетрудно показать, что функции совокупного предложения и совокупного спроса связаны соотношением.

(p,x) (p,y) Vx G D(p), Vy G S(p) (4.24) h=H В самом деле, если x е D(p), то x = Е xh, h=1 где: Xh G Dh(p) h = 1, 2,Я.

Так как, для каждого потребителя выполняется условие Вальраса (4.17), имеем (xh,p) г hip) = (bh,p) + Ih (p).

Суммируя по h = 1, 2,Я получаем:

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию h=H (x,p) (b,p) + Y Ih(P) X G D(P) h=1 С другой стороны, если е S(p) то у = b + Y у/ У/ е S/(p).

/=1 Пусть z = Е у/.

/=1 Тогда h=H z G S(p) и Y Ih(p) = (z,p).

h=1

Отсюда:

h=H (У, p) = (b, p) + Ih(p), h=1 и соотношение (4.24) доказано.

Таким образом, в рассматриваемой модели Эрроу - Дебре выполняется, условие Вальраса для всего сообщества участников экономики или коллективный закон Вальраса (см. стр. 133) Соотношение (2.24) называется законом Вальраса в широком смысле.

Замена в (2.24) неравенства на равенство превращает (2.24) в закон Вальрас в узком смысле.

Закон Вальраса в широком смысле означает, что в стоимостном выражении спрос не превосходит предложения при любых ценах. Или другими словами затраты денег уплаченных покупателями за покупку товаров не превосходит суммы денег полученных продавцами при их продажи.

С использованием понятий функции совокупного спроса и функции совокупного предложения определение конкурентного равновесия можно переформулировать следующим образом.

Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию Определение 2.3.5 Равновесие в модели Эрроу - Дебре.

Набор (x*,y*,p*) называется конкурентным равновесием, если У* е S(p), (4.25) x* е D(p), (4.26) x* у*, (4.27) (p*,x*) = (p*,y*) (4.28) Для дальнейшего, удобно ввести множество E(p) = {z G Rn | 3 x G D(p),y G S(p) : z = у - x} Определение 4.3.6 Функция избыточного предложения Многозначную функцию E(p) : Rn — Rn определенную выше будем называть функцией избыточного предложения.

А функцию F(p) = —E(p) функцией избыточного спроса.

Утверждение 2.3.7 Для того чтобы в модели Эрроу -Дебре существовало состояние равновесия необходимо и достаточно, чтобы нашелся вектор цен p* е Mn и z* е E(p) такие, что:

z* е E(p), (4.29) z* 0, (4.30) (p*,z *) = 0; (4.31) 2.3.4 Существование равновесия в модели Эрроу - Дебре.

Будем предполагать, что выполняются следующие предположения.

Будем предполагать, что существует некоторый специфический товар например с номером n, который может использоваться для сравнения ценности единицы любого другого товара. Ценность единицы этого товара можно принять равной единице. 12 Множества Y/ С Rn f = 1, 2,...,F; каждого производителя не пустое, выпуклые и ограниченное.

Функции дохода каждого потребителя определяются формулами:

гн(р) = (р, bh) + V ahJ max(p, у/) (4.32) где:

bh - начальный запас ресурсов у потребителя с номером h П/ = max(p, у/) - чистый доход (прибыль) производителя с номером f yeYf Составитель - ст.преподаватель Нохрина Г.Л Лекции по экономическому моделированию ah/ h = 1, 2,...,H; f = 1, 2,...,F - заданные числа, определяющие доли прибыли предприятия f, полученную потребителем h ah,/ = 1; ah,/ 0;

h=l Множества Xh, на котором определена функция полезности потребителя с номером h выпукло, замкнуто и неограничено.

Xh С R+; 0 е Xh Фунция полезности uh : Xh ^ R; h = 1, 2,...,H потребителя непрерывна и вогнута.

Всякий потребитель ненасыщаем.13 При этом, будем предполагать, что множество допустимых наборов потребления Xh для каждого потребителя удовлетворяет, следующему дополнительному условия:

Если в последовательности xk е Xh; k = 1,2,... какая либо координата xk — то j = 1, 2,...,n cтремится к бесконечности, то xkn — то также стремятся к бесконечности.

Другими словами, если потребление какого либо продукта для потребителя с номером h не ограничено, то одновременно неограниченно должны возрастать денежные затраты потребителя.

xk lim -k- 6 0 Теорема 4.3.8 Если выполняются предположения 1-6, то в модели Эрроу - Дебре существует состояние равновесия.

13Это означает, что sup uh(x) = +оо ( см.

определение (3.2.11) на стр. 94)(4.3.8).

Доказательство теоремы xEXh Доказательства теоремы основано на использование теоремы Гейла Дебре Никайдо.

С помощью функций совокупного спроса и предложения построим функцию избыточного предложения E(p) : Rn — Rn определенную выше (см.

определение ( 4.3.6) на странице 143) и покажем, что при предположениях теоремы найдется вектор цен p* Pn и вектор избыточного предложения z* E(p) такие, что выполняются условия (4.29)- (4.30) на стр. 143.

–  –  –

Для применимости теоремы Гейла - Дебре Никайдо надо:

указать выпуклое компактное множество G, содержащее E(p) для всех p Pn показать, что для всех p Pn множество избыточного предложения E(p) не пустое, замкнутое и выпуклое;

показать, что выполняется условие Вальраса:

(E(p),p) 0; для всех p Mn Прежде всего, заметим, что из преположения (2) следует, что для любых p P отображение Sf (p) f = 1, 2,...,F представляет собой замкнутое выпуклое множество, содержащееся в компактном множестве Yf Отсюда следует, что значение функции дохода каждого потребителя рассчитываемое по формуле (4.32):

f=F rh(p) = (p, bh) + V ah,f max(p, yf), также равномерно ограничено для p P По предположению функция спроса каждого потребителя удовлетворяет условию Вальраса.

i=n— 1 для всех p P и x Dh(p), Y 'pixi + pnxn rh(p);

i=1 из преположения (1) Множество спроса и предложения потребителей не зависит от единицы измерения цен Dh(Ap) = Dh(p) VA 0

Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ПРОМЫШЛЕННОСТИ, НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКАЯ АССОЦИАЦИЯ НЕЙРОИНФОРМАТИКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) НАУЧНА...»

«ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ У ДК 1 А.П. Коркишко Севастопольский национальный технический университет Студгородок, г. Севастополь, Украина, 99053 root@sevgtu.sebastopol.ua РЕДУКЦИОНИЗМ КАК ИНСТРУМЕНТ СОЦИАЛЬНОГО ПОЗНАНИЯ Рассмотрены методы решения редуктических задач, возникающих в процессе конст...»

«З.Б.-Д. Дондоков, А.С. Булдаев, В.И. Степанов. Использование межотраслевого баланса суммарных расходов в анализе экономического развития России   Булдаев Александр Сергеевич, профессор, доктор физ.-мат. наук, проректор по НИР БГУ. Бурятский государственный ун...»

«КОНТРАКТ № от " " 2014 года Выполнение комплекса земельно-кадастровых работ для строительства объектов: Пристрой к зданию АБК Горьковского РНУ. Строительство Лот № Подрядчик: ООО " " 2014 год Выполнение комплекса земельно-кадастровых работ для строительства...»

«Содержание Пояснительная записка _ 3 Содержание учебного курса _ 6 Требования к уровню подготовки учащихся _ 12 Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение _ 15 Список литературы для учащихся 17 Ка...»

«Перечень выявленных замечаний при выдаче разрешения на строительство по объекту ул. Живописная, вл. 21. С 19 октября 2016 г. ООО "Строитель" (подрядная организация – ООО "Грат") осуществляет хозяйственную деятельность по реал...»

«К.К. Кочетков, Т.В. Кочеткова, Т.И. Грязнова Экономика Учебное пособие Часть 2 Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Нижегородский госуд...»

«Образовательная область "Художественно-эстетическое развитие" в рамках введения ФГОС ДО Процесс модернизации системы образования сопровождается переосмыслением отечественной и зарубежной образовательной...»

«МИНОБРНАУКИ РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский архитектурный институт (государственная академия)" (МАРХИ) Кафедра "Истории архитектуры и градостроительства" А.Ю.Броновицкая, О.А.Наза...»

«ГОСТ 12.4.026-2015. Межгосударственный стандарт. Система стандартов безопасности труда. Цвета сигнальные, знаки безопасности и разметка сигнальная. Назначение и правила применения. Общие технические требования и характеристики. Методы испытаний (введен...»

«Вестник ТГАСУ № 2, 2015 75 УДК 72.032 + 7.032.7 ПОЛЯКОВ ЕВГЕНИЙ НИКОЛАЕВИЧ, докт. искусствоведения, профессор, polyakov.en@ yandex.ru КРЮКОВА ЮЛИЯ ЕВГЕНЬЕВНА, аспирант, trima06@mail.ru Томский государственный архитектурно-стро...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" Институт Международного образования и языковой коммуникации Специальность 45.05.01 Перевод и переводоведение Кафедр...»

«ЗИМИНОВ ВИКТОР МИХАЙЛОВИЧ ОПТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМНЫХ ГЕТЕРОПЕРЕХОДОВ НА ОСНОВЕ ФУЛЛЕРЕНА И ОРГАНИЧЕСКИХ ЛИБО НЕОРГАНИЧЕСКИХ ДОНОРОВ Специальность 01.04.10 — Физика полупроводников ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Нау...»

«Практика применения нового патентного законодательства: изобретения и полезные модели Ю.С.Зайцев, заведующий отделением физики и прикладной механики ФИПС Москва, 2015 Изменение практики патенто...»

«1. Вопросы программы кандидатского экзамена по специальности 05.13.11 Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей 1. Математические основы программирования 1. Понятие алгоритма и его уточнения: машины Тьюринга, нормальные алгоритмы Маркова, рекурсивные функции. Экв...»

«Акустомагнитные системы защиты товаров от краж серии 610 Техническое руководство Версия 1.1 © 2014, ШТРИХ-М, ИБТ, CSS Technologies Все права защищены. Оглавление ВАЖНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ СОСТАВ СИСТЕМЫ...»

«ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N5 49 УДК 533.6.011.5 АВТОКОЛЕБАНИЯ В СВЕРХЗВУКОВЫХ ПЕРЕРАСШИРЕННЫХ ИМПАКТНЫХ СТРУЯХ Г. Ф. Горшков, В. Н. Усков Балтийский государственный технический университет “Военмех”, 198005 Санкт-Петербург Экспериментально и теоретиче...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Санкт-Петербургский государственный политехнический...»

«Содержание Введение 1 Теоретические основы причинно-следственной связи при санации банка. 9 1.1 Статистические показатели деятельности банка 1.2 Риск менеджмент как основа обеспечения финансовой устойчивости коммерческого банка 1.3 Теоретическое определение механизма...»

«АРХІТЕКТУРНИЙ ВІСНИК КНУБА УДК 72.013 Аспирант Колесник О. В. Научный руководитель: д. арх., профессор Ковальский Л.Н. Одесская государственная академия строительства и архитектуры ОПЫТ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И СТРОИТЕЛЬСТ...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.