WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

« ...»

1

Содержание

Введение

Раздел 1. Основные понятия

1.1. Теория систем. Системный анализ. Исследование операций................5

1.2. Системы и их свойства

1.3. Абстрактные системы как модели

1.4. Типы моделей

1.5. Вопросы для самопроверки

1.6. Задачи для самостоятельного решения

1.7. Литература

Раздел 2. Распределительные задачи

2.1. Классификация распределительных задач

2.2. Транспортная задача

2.2.1. Методы нахождения начального решения

2.2.2. Отыскание оптимального решения транспортной задачи...........33 2.2.3. Вопросы для самопроверки

2.2.4. Задачи для самостоятельного решения

2.3. Задача о назначении

2.3.1. Алгоритм решения задачи о назначении

2.3.2. Модель последовательного назначения исполнителей................43 2.3.3. Вопросы для самопроверки

2.3.4. Задачи для самостоятельного решения

2.4. Общая линейная распределительная задача

2.4.1. Геометрический способ решения

2.4.2. Симплекс-метод

2.4.3. Вопросы для самопроверки

2.4.4. Задачи для самостоятельного решения

2.5. Литература

Раздел 3. Задачи управления запасами

3.1. Природа систем управления запасами

3.2. Структура систем управления запасами

3.3. Общая детерминированная задача для однородной продукции при одном уровне управления



3.4. Вопросы для самопроверки

3.5. Задачи для самостоятельного решения

3.6. Литература

Раздел 4. Задачи массового обслуживания

4.1. Основные понятия теории массового обслуживания

4.2. Постановка задачи и метод решения

4.3. Вопросы для самопроверки

4.4. Задачи для самостоятельного решения

4.5. Литература

Варианты контрольных работ

Введение

Современное состояние общества характеризуется внедрением достижений научно-технического прогресса во все сферы деятельности.

Создание сложных технических систем, проектирование и управление сложными комплексами, анализ экологической ситуации, особенно в условиях агрессивного техногенного воздействия, исследование социальных проблем коллективов, планирование развития регионов и многие другие направления деятельности требуют организации исследований, которые имеют нетрадиционный характер. Таким образом, в различных сферах деятельности приходиться сталкиваться с понятиями больших или сложных систем.

В разных сферах практической деятельности развивались соответствующие методы анализа и синтеза сложных систем: в инженерной деятельности – системотехника, методы проектирования; в военной сфере – методы исследования операций, теория оптимального управления; в научных исследованиях – имитационное моделирование, теория эксперимента.

В 80-е гг. XX в. все эти теоретические и прикладные дисциплины приобретают общую направленность, они образуют «системное движение».

В виду того, что сложные системы стали предметом изучения, проектирования и управления, потребовалось обобщение методов исследования систем. В последнее время это движение оформилось в науку, которая получила название «системный анализ». Основу математического аппарата системного анализа составляют линейное и нелинейное программирование, теория принятия решений, теория игр, имитационное моделирование, теория массового обслуживания, теория статистических выводов и т.п.





В настоящее время методы системного анализа получили широкое применение при перспективном и текущем планировании научноисследовательских работ, проектировании различных объектов, управлении производственными и технологическими процессами, прогнозировании развития отдельных отраслей промышленности и сельского хозяйства.

Особенно часто к ним обращаются при решении задач распределения трудовых ресурсов и производственных запасов, назначения сроков профилактического ремонта оборудования, выбора средств транспортировки грузов, составления маршрутов и расписаний перевозок, размещения новых производственных комплексов и целого ряда других.

Отметим еще одну особенность задач системного анализа, а именно, требование оптимальности принимаемых решений. То есть, в настоящее время перед системными аналитиками ставится задача не просто разрешения той или иной проблемы, а выработка таких рекомендаций, которые бы гарантировали оптимальность решения.

–  –  –

1.1. Теория систем. Системный анализ. Исследование операций Существенной особенностью процесса развития прикладных наук, используемых в сфере организационного управления, явилось отсутствие одного важного элемента: функция общего руководства развивалась без привлечения науки.

Всегда, когда общая задача организационного управления разбивается на ряд частных задач, возникает необходимость объединения, или интеграции, этих функций в интересах достижения общей цели. Решение такой задачи и составляет содержание функции общего руководства.

Для реализации этой функции общего руководства должны быть обязательно определены цели подразделений, подчиненных руководителю, и заданы критерии, позволяющие оценивать степень достижения этих целей (критерии оценки деятельности подразделений). Так, например, для основных функциональных подразделений руководители фирм обычно устанавливают следующие цели.

Производство. Максимизировать количество производимых товаров (или услуг) и минимизировать удельные издержки производства.

Сбыт. Максимизировать объем проданных товаров и минимизировать удельные издержки сбыта.

Финансирование. Минимизировать объем капитала, требуемого для обеспечения заданного уровня производства продукции.

Кадры. Обеспечить добросовестное выполнение персоналом своих служебных обязанностей и высокую производительность труда.

С такими целями в принципе все согласны, но, так как они часто противоречивы, их очень трудно реализовать на практике. Вследствие этого возникают конфликты между функциональными подразделениями.

Рассмотрим в качестве примера отношение к стратегии управления запасами, характерное для каждого из перечисленных функций подразделений.

Производственный отдел стремится выпускать как можно больше продукции при наименьших затратах. Этого можно достичь, производя непрерывно всего один вид продукции. Если нужно выпускать различные изделия, то самым дешевым способом является выпуск максимально возможного количества изделий в течение производственного цикла. Такая стратегия минимизирует потери времени на переналадку оборудования, обеспечивая получение выгод, связанных с длительными производственными циклами. Если бы производственному отделу удалось настоять на выпуске относительно небольшой номенклатуры изделий в течение длительных и непрерывных производственных циклов, то возникли бы большие запасы продукции при относительно небольшом числе изделий. И действительно, производственный отдел, как правило, предпочитает стратегию, допускающую образование больших запасов при узкой номенклатуре выпускаемых изделий.

Отдел сбыта также заинтересован в больших запасах, чтобы удовлетворить любые запросы потребителя в любой момент времени. Этот отдел стремится продать как можно больше продукции, и поэтому должен предлагать максимально широкую номенклатуру изделий. Вследствие этого между производственным отделом и отделом сбыта обычно возникает конфликт по поводу номенклатуры выпускаемых изделий.

Также и финансовый отдел и отдел кадров имеют различные представления о том, какова должна быть стратегия управления запасами фирмы.

Но задача руководителя как раз в том и заключается, чтобы выбрать такую стратегию управления запасами, которая наилучшим способом служит интересам фирмы в целом, а не интересам одного из подчиненных ему подразделений. Решение этой задачи требует, чтобы учитывались интересы всей системы.

Итак, в основе современного научного подхода к управлению лежит системный принцип.

Ценность системного принципа для управления предприятием можно понять, рассмотрев два аспекта работы управляющего. Во-первых, он стремится добиться суммарной эффективности своей организации и не допустить, чтобы частные интересы какого-либо одного элемента организации повредили общему успеху. Во-вторых, он должен добиваться этого в условиях организационной среды, которая всегда содержит противоречащие друг другу цели.

Системный принцип, или системный подход, - это всего лишь признание того, что всякая организация представляет собой систему, состоящую из частей, каждая из которых обладает своими собственными целями. Управляющий понимает, что достигнуть общих целей организации можно только в том случае, если рассматривать ее как единую систему.

Таким образом, можно утверждать, что системный анализ занимается в основном анализом функциональных систем, т.е. систем, работа которых определяется решениями людей (в противоположность, например, физическим системам, которые подчиняются лишь законам природы).

Теория систем традиционно всегда была тесно связана с проектированием и разработкой сложных систем (первая разработка в этой области предпринята для телефонии), тогда как системный анализ обеспечивал математическое описание процессов функционирования и управления. Системный анализ ориентирован на решение задач, для которых можно построить математические модели, позволяющие получать оптимальные решения. Что касается теории систем, то она, используя формальные построения, имеет дело с более сложными задачами и ее методы являются более глобальными и абстрактными. В теории систем учитываются социальные и биологические факторы, которые пока трудно оценить количественно.

Система является совокупностью динамически взаимосвязанных элементов, смыслом эволюции которой является достижение некоторой цели.

Теория систем занимается прежде всего выявлением механизма достижения этой цели, а также механизмов саморегулирования и перехода в состояние равновесия. Системный анализ, ориентированный на построение количественных моделей упомянутых выше механизмов функционирования сложных систем, способен внести в эту теорию важный вклад. Таким образом, правомерно рассматривать системный анализ как одну из дисциплин, способствующих развитию общей теории систем.

1.2. Системы и их свойства

Определение. Система – это множество объектов вместе с отношениями между объектами и между их атрибутами.

Это определение предполагает, что система имеет свойства, функции и цели, отличные от свойств, функций и целей составляющих ее объектов, отношений и атрибутов.

Определение. Объекты – это просто части системы.

Большинство систем состоит из физических частей: атомов, переключателей, пружин и т.д., но в систему могут входить и абстрактные объекты: математические переменные, уравнения, законы и т.п.

Определение. Атрибуты – это свойства объектов.

Например, приведенные выше в качестве примера объекты наряду с другими имеют следующие атрибуты: атомы – число электронов на орбитах, атомный вес; пружины – упругость, перемещение.

Определение. Отношение – одна из форм всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений, процессов в природе, обществе, мышлении.

Отношения предметов друг к другу исключительно многообразны:

причина и следствие, часть и целое, подчинение и соподчинение, аргумент и функция, следование во времени, и т.д. В математике и логике используют такие виды отношений, как «… больше чем…», «…включено в…», «…влечет за…» и т.п.

В определении системы отмечено, что для всех систем характерно наличие отношений между объектами и между их атрибутами.

Определение. Если каждая часть системы так соотносится с каждой другой частью, что изменение в некоторой части вызывает изменения во всех других частях и во всей системе в целом, то система ведет себя как целостность, или как некоторое связанное образование.

Определение. Если в совокупности совершенно не связанных между собой объектов изменение в каждой части совокупности зависит только от самой этой части, а изменение в совокупности в целом является физической суммой изменений в ее отдельных частях, то такая совокупность называется обособленной или физически аддитивной.

Понятия целостности и обособленности могут быть использованы для того, чтобы качественно определить другие свойства, часто наблюдающиеся в физических системах. Большинство неабстрактных систем изменяются во времени.

Определение. Если изменения системы во времени приводят к постепенному переходу от целостности к обособленности, то это означает, что система подвержена прогрессирующей изоляции.

Различают два типа прогрессирующей изоляции. Первый простейший тип соответствует распаду. Примером распада физической системы может служить, в частности, вышедший из строя радиоприемник. Второй тип прогрессирующей изоляции соответствует росту. В этом случае система изменяется в направлении возрастающего деления на подсистемы или в направлении возрастающей дифференциации функций. Этот тип изоляции возникает обычно в системах, в которых протекают процессы эволюции и развития.

Определение. Если изменения системы во времени приводят к постепенному переходу от обособленности к целостности, то это означает, что система подвержена прогрессирующей систематизации.

Процесс изменения системы в отношении увеличения ее целостности может состоять в усилении ранее существовавших отношений между частями; развитии отношений между частями, ранее не связанными между собой; постепенном добавлении частей и отношений в систему или в комбинации этих изменений. Рассмотрим в качестве примера развитие телефонной сети, действующей на большие расстояния. На начальном этапе по всей стране появляются местные телефонные коммутаторы. Затем коммутаторы соединяются междугородними линиями. С усовершенствованием методов передачи прибавляются новые коммутаторы, действующие на все большие расстояния. Далее создается автоматический набор телефонного номера, что отдает сеть в распоряжение операторов и в конечном счете в распоряжение клиентов.

Определение. Централизованная система – это такая система, в которой один элемент или одна подсистема играет главную роль в функционировании всей системы. Эта часть называется ведущей частью системы или ее центром.

Малые изменения в ведущей части отражаются на всей системе, вызывая значительные изменения в ней. Прогрессирующая изоляция и прогрессирующая систематизация могут сопровождаться прогрессирующей централизацией. В этом случае система эволюционирует так, что одна ее часть берет на себя функции центрального и управляющего органа.

Предположим, что система полностью определяется переменными x1, x 2,..., x n. Тогда состояние системы можно описать множеством n чисел.

Множество всех точек n-мерного пространства, включающие возможные состояния системы, называется множеством состояний системы. Чтобы описать поведение системы рассматриваемого типа, достаточно определить возможные траектории в множестве состояний для данной системы, или, другими словами, последовательность состояний, через которые проходит система в процессе эволюции. Если для простоты предположить, что систему определяют две переменные, то множеством состояний будет обычная евклидова плоскость, а возможными траекториями – кривые на плоскости.

Определение. Если систем обладает свойством, что при данном начальном состоянии однозначно определяется траектория ее эволюции, то такая система называется системой, определяемой состоянием.

Подобные системы обладают важным математическим свойством, которое приведем без доказательства.

Для того, чтобы система являлась системой, определяемой состоянием, необходимо и достаточно, чтобы ее переменные удовлетворяли следующей систем уравнений:

dx 1 = f1 ( x1,..., x n ), dt M dx n = f n ( x1,..., x n ).

dt где f1,..., f n суть однозначные функции.

Рассмотрим в качестве примера систему, частями которой являются пружина, груз определенной массы и твердая поверхность, скажем, потолок.

Вообще говоря, эти объекты не связаны друг с другом. Но если прикрепить пружину к потолку и подвесить к ней груз, то между ними появятся особые отношения, свойственные созданной таким образом системе. Длина пружины, расстояние груза от потолка, упругие свойства пружины и размер груза – все это находится в некоторых отношениях друг с другом.

Определенная таким образом система есть статическая система, так как ее свойства не изменяются со временем. Задав начальное отклонение от положения равновесия, получим для груза определенное значение скорости движения, зависящее от массы груза и упругих свойств пружины. Положение груза будет изменяться во времени, и в таком случае система является динамической системой.

–  –  –

1.3. Абстрактные системы как модели Две рассмотренные системы являются примером использования одного из самых плодотворных путей анализа физических систем – метода абстракции.

Возвращаясь к простейшему примеру соединения груза и пружины, получим иллюстрацию этого метода. В статическом случае интересующие нас атрибуты объектов системы таковы: постоянная K, определяющая свойства пружины, перемещение x и вес груза W. Они связаны в рамках закона упругости Гука линейным уравнением Kx = W, (3) которое является уравнением вида (1) для одной переменной. Для того чтобы изучить физическую систему, она заменяется абстрактной системой с теми же отношениями, и тогда задача становится чисто математической.

Такого рода аналогия имеет место и в динамическом случае; только в этом случае физическая система представляется системой дифференциальных, а не линейных алгебраических уравнений. В этом случае говорят о создании математической модели системы. Степень, с которой модель согласуется с реальным поведением системы, является мерой применимости модели для изучения данной системы.

Для того чтобы систему можно было достаточно успешно изучать с помощью математических методов, должны быть выполнены следующие условия:

1) должны быть хорошо известны имеющиеся в системе отношения между объектами;

2) должны быть определены количественные значения существенных для системы атрибутов объектов (причем число этих атрибутов не должно быть столь большим, при котором анализ системы становится невозможным);

3) при заданном множестве отношений должны быть известны формы поведения системы (они определяются, например, физическими законами).

Термин «исследование операций» был введен в послевоенные годы, когда стало очевидно, что задачи широкого класса, возникающие в самых различных сферах человеческой деятельности, имеют, несмотря на их качественное различие, одно общее – они сводятся к выбору способа действия, варианта плана, параметров конструкции, т.е. к принятию решений и этого общего достаточно для построения единой теории и единой системы методов. В этих условиях и возник термин «операция», который означает любое целенаправленное действие. Цель операции считается заданной.

Кроме субъекта, т.е. оперирующей стороны, в операции всегда участвует исследователь операции. Он действует в интересах оперирующей стороны, и его задача состоит в том, чтобы найти оптимальный способ использования ресурсов оперирующей стороны, обеспечивающий достижение заданной цели. Научная дисциплина, называемая исследованием операций, наблюдает реальные явления, связанные с функциональными системами, разрабатывает модели, предназначенные для объяснения этих явлений, использует эти модели для изучения того, что произойдет при изменении условий, и проверяет предсказания новыми наблюдениями.

Исследование операций – это применение научного метода комплексными научными коллективами для решения задач, связанных с управлением организованными (человеко-машинными) системами с целью получения решений, которые наилучшим образом отвечают целям всей организации.

Отличительными особенностями исследования операций являются:

1) системный подход;

2) использование комплексных научных коллективов;

3) применение научного метода к задачам управления.

Системный подход основан на том, что в организационных системах поведение любой части в конечном счете некоторым образом влияет на все остальные части. Не все такие влияния существенны, а часть из них даже невозможно обнаружить. Поэтому суть этого подхода заключается в систематическом поиске существенных взаимодействий при оценке деятельности или стратегии любой части организации.

В исследовании операций предпринимается попытка учесть все существенные факторы, установить между ними связь и оценить их в целом.

При изложении сущности научного метода утверждается, что его отличительной особенностью является эксперимент. Но, когда речь идет о государственных, военных или промышленных организациях, эксперимент в узком смысле слова, т.е. физическое изменение значений переменных, часто бывает невозможен.

Эксперимент иногда возможен, особенно на уровне подсистем. Тем не менее, как правило, вся система, являющаяся объектом изучения, не может быть подвергнута эксперименту.

Например, астроном имеет возможность наблюдать систему, которую он изучает, но не может изменить ее.

Поэтому он строит модели системы и механизмов ее функционирования, т.е. модели, на которых и проводит свои исследования.

Модели для системного анализа имеют форму уравнений, которые хотя и могут быть сложными с математической точки зрения, отличаются простой структурой.

U = f ( X i, Yj ), Где U – полезность или значение критерия, характеризующего качество функционирования системы;

X i – переменные, которыми можно управлять;

Yj – переменные (и постоянные), не поддающиеся управлению, но влияющие на U;

f – функция, задающая соотношение между U, X i, Yj.

Кроме того, одно или несколько уравнений или неравенств часто требуются для выражения того факта, что некоторые из управляемых переменных могут изменяться в определенных пределах.

Например, сумма ассигнований, направляемых в различные подразделения фирмы, не может превышать общего количества наличных денег.

Уравнение, выражающее целевую функцию, совместно с ограничениями образуют модель системы или задачи, которую надо решить.

Следовательно, речь идет как о модели принятия решения, так и модели системы.

1.4. Типы моделей

Модель является представлением действительности. Но если модели были бы столь же сложны, как реальные объекты, то не было бы никакого смысла в их использовании. Обычно можно строить гораздо более простые модели, чем объекты, которые они отображают, и тем не менее применять такие модели для прогнозирования явлений с довольно высокой точностью.

Это объясняется тем, что хотя для абсолютно точного предсказания какоголибо явления может потребоваться очень большое число переменных, для определения его основных особенностей обычно достаточно лишь относительно небольшого числа переменных. Сложность состоит в том, чтобы выбрать нужные переменные и правильно определить соотношения между ними.

Используют обычно модели трех типов.

1. Изобразительные модели (или модели геометрического подобия).

В изобразительных моделях существенные свойства оригинала представлены самими этими свойствами, как правило, лишь в ином масштабе. Таким образом, изобразительные модели внешне похожи на реальный объект, но отличаются от него размерами, представляя собой копии этого объекта. Примерами моделей такого типа служат фотографии, чертежи, карты и натурные "модели" самолетов, кораблей, автомобилей.

Изобразительные модели солнца и его планет, которые обычно демонстрируют в планетарии, значительно уменьшены в масштабе, в то время как модель атома (модель Бора) во много раз увеличена.

2. Аналоговые модели.

В аналоговых моделях набор одних свойств используется для отображения набора совершенно иных свойств. Например, горизонтали на карте являются аналогами высоты над уровнем моря. Графики представляют собой аналоги, в которых положение в пространстве и геометрические величины отображают самые различные переменные и соотношения между ними. В общем случае аналоговые модели менее конкретны, чем изобразительные и с ними проще оперировать.

3. Символические (математические) модели.

Символические модели имеют вид математических выражений (обычно уравнений или неравенств), описывающих структуру моделируемого объекта.

При проведении многих исследований поочередно используются модели всех трех типов. Изобразительные и аналоговые модели иногда применяют в качестве первых, приближенных описаний реального объекта, уточняемых в дальнейшем в символической модели.

Строить символические модели стремятся использовать не только в силу того, что с ними проще оперировать, но также и потому, что они обычно дают более точные результаты, чем изобразительные или аналоговые модели.

Пример.

В качестве примера рассмотрим случайного уличного продавца газет, которому нужно принять решение, сколько газет он должен заказывать, чтобы максимизировать математическое ожидание своей прибыли. Он покупает каждый день некоторое число газет и продает либо все газеты, либо

–  –  –

Таким образом, получена модель принятия решения в условиях неопределенности, в которой P - критерий качества функционирования, n – управляемая переменная, d – неуправляемая переменная, a, b – неуправляемые константы.

Для решения задачи, описываемой такой моделью, необходимо отыскать значение n, максимизирующее P. Очевидно, такая модель «продавца газет» применима при заказе многих скоропортящихся продуктов.

Если модель построена, то ее можно использовать для отыскания точных или приближенных оптимальных значений управляемых переменных, то есть таких значений, которые обеспечивают наилучший показатель качества функционирования системы при заданных значениях неуправляемых переменных. Другими словами, можно получить решение на модели.

В некоторых алгоритмах затраты на отыскание оптимального решения могут оказаться слишком большими по сравнению с выгодой, даваемой таким решением в сравнении с достаточно "хорошим" решением, которое иногда можно определить сравнительно просто. Всякий раз, когда вычисляется значение U, соответствующее новому набору значений X i при заданных значениях Yj, получают некоторую новую информацию о том, как функционирует система. Из этой информации можно сделать вывод, что Xi иной набор значений обеспечивает определенное улучшение функционирования системы. Если есть возможность оценить размер улучшения до выполнения вычислений, то можно сравнить затраты на вычисления и решить, целесообразны ли дальнейшие попытки.

Оптимальным является решение, которое минимизирует или максимизирует (в зависимости от существа задачи) критерий качества на модели при заданных условиях и ограничениях, представленных в этой модели.

В любом проекте по системному анализу можно выделить следующие пять составных частей:

1) постановка задачи;

2) построение модели;

3) отыскание решения;

4) проверка модели и оценка решения;

5) внедрение решения и контроль его правильности.

Важным следствием применения системного анализа для решения широкого спектра задач явилось выделение небольшого числа классов, к которым принадлежит большинство из них. Вследствие частой повторяемости задач определенных классов были разработаны методы построения их моделей и получения решений на этих моделях.

Различают задачи следующих классов:

1) распределения;

2) управления запасами;

3) замены;

4) массового обслуживания;

5) упорядочения и координации;

6) выбора маршрута;

7) состязательные;

8) поиска.

1.5. Вопросы для самопроверки

1. Что такое системный принцип?

2. Какую дисциплину стало принято называть системным анализом?

3. Что такое теория систем?

4. Что называют системой?

5. Что такое объект системы? Приведите примеры.

6. Что такое атрибут объекта системы? Приведите примеры.

7. Что такое отношение? Приведите примеры.

8. Какая система называется целостной?

9. Какая система называется обособленной?

10. Что такое прогрессирующая изоляция?

11. Назовите типы прогрессирующей изоляции.

12. Что такое прогрессирующая систематизация?

13. Какая система называется централизованной?

14. Какая система называется системой, определяемой состоянием?

15. Сформулируйте свойство систем, определяемых состоянием.

16. Приведите пример физической системы. Что в этой системе является объектами, их атрибутами, отношениями? Можно ли рассматривать эту систему как статическую или как динамическую?

17. Приведите пример системы, не имеющей физической природы. Что в этой системе является объектами, их атрибутами, отношениями? В какой роли выступают такие системы?

18. Перечислите условия, которые должны выполняться, чтобы систему можно было изучать математическими методами.

19. Перечислите типы моделей.

20. Какая модель называется изобразительной? Как по-другому называют такие модели?

21. Приведите примеры изобразительных моделей.

22. Какая модель называется аналоговой?

23. Приведите примеры аналоговых моделей.

–  –  –

-9 -1 7 15 15 15

-12 -4 4 12 20 20

-15 -7 1 9 17 25 Таким образом, закупая 50 газет, продавец может заработать 25 рублей, но и рискует понести убыток в 15 рублей. Закупая 20 газет, он может заработать 10 рублей, но может понести убыток в 6 рублей. Возникает вопрос: какую стратегию выбрать?

Проведем наблюдение за спросом в течение 100 дней. Результаты занесем в таблицу (табл.2).

Таблица 2 Объем спроса d на газеты Число дней, когда имел место объем спроса d Предположим, что в будущем сохранится такой же спрос на газеты, что и в прошлом. Тогда отношение числа дней, когда объем спроса был равен d, к общему числу дней, в течение которых проводилось наблюдение, условно назовем вероятностью объема спроса d.

Примечание. Здесь при использовании термина «вероятность»

предполагается, что общее число дней, в течение которых велось наблюдение, является достаточно большим, чтобы частота соответствующих событий могла быть принята за вероятность этого события с приемлемой точностью.

Таблица 3 Объем спроса d на газеты 0.03 0.17 0.37 0.29 0.12 0.02 Вероятность спроса d Доход, получаемый ежедневно является случайной величиной.

Возможные значения этой случайной величины приведены в табл.1, а вероятности ее значений равны вероятностям соответствующего объема спроса и приведены в табл.3. Вычислим средний доход в день (за 100 дней) при условии ежедневной закупки одного и того же количества газет. Расчет приведен в табл.4.

–  –  –

Продавец ежедневно закупает некоторое количество газет по a рублей за штуку, и продает их в первый день по b рублей за штуку. Непроданные в первый день газеты, обязательно будут проданы на следующий день по c рублей за штуку. Спрос на газеты является случайным. Данные о различных объемах спроса приведены в табл.5.

Определить количество n газет, которое нужно закупать ежедневно, чтобы обеспечить максимальный доход в будущем и соответствующий средний доход.

Варианты заданий:

В-1 a=0.5 b=1.1 c=0.2 В-2 a=0.6 b=1 c=0.2 В-3 a=0.7 b=1.2 c=0.5 В-4 a=10 b=12 c=6 В-5 a=10 b=15 c=5

–  –  –

2.1. Классификация распределительных задач Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом, поэтому целью решения задач этого типа является отыскание такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход. Большинство распределительных задач можно представить в виде матриц.

–  –  –

условиях имеем задачу о назначениях. В задачах этого класса для выполнения каждой работы требуется один и только один вид ресурса, а каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе.

Если работы и ресурсы измеряются в единицах одной и той же шкалы, то такие задачи называются транспортными. Если же работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерения, то задача называется общей распределительной задачей.

2.2. Транспортная задача

Рассмотрим задачу, возникающую перед транспортным отделом фирмы, имеющей 3 предприятия и 4 оптовых склада. Перечни заявок каждого склада и производственные мощности каждого предприятия на каждый месяц известны. Известны транспортные расходы по доставке продукции с каждого предприятия на каждый склад. Требуется распределить поставляемую предприятиями продукцию по складам таким образом, чтобы минимизировать общие транспортные расходы. Такой критерий оптимальности можно принять только тогда, когда общая производственная мощность предприятий в точности равна общему спросу на их продукцию, т.е. когда задача сбалансирована (закрытая модель).

Предположим, что мощности предприятий, потребности складов и удельные транспортные расходы определяются величинами, приведенными в таблице.

–  –  –

2.2.1. Методы нахождения начального решения Первый шаг в решении такой задачи сводится к определению некоторого допустимого распределения. Затем найденное решение последовательно улучшается до тех пор, пока не будет установлено, что дальнейшее снижение транспортных затрат невозможно.

Рассмотрим методы отыскания начальных решений.

Обозначения:

x ij – объем груза, отправляемого с предприятия i на склад j;

C ij – удельные затраты при такой перевозке.

Метод северо-западного угла Распределение всегда начинают с клетки (1,1).

Выбираем клетку (1,1) и находим, что наибольшая возможная поставка (x11) равна 5, так как это все, что требуется складу 1. Выбрав эту поставку, переходим к клетке (1,2), так как столбцу 1 больше не требуется никаких поставок. Наибольшая поставка по этой клетке равна 2, так как это весь остаток мощности предприятия 1 после того, как произведена поставка x11=5.

Таким образом, принимаем x12=2. Переходим к клетке (2,2), поскольку складу 2 еще требуется 6 единиц продукции, т.е. x22=6. Теперь спрос склада 2 удовлетворен и переходим к клетке (2,3) и т.д. Перемещаясь по матрице только вправо и вниз, получим остальные назначения.

x23=3, x33=4, x34=14.

Занесем их в таблицу. Причем, в каждой клетке, участвующей в решении, будем указывать количество единиц продукции, а рядом в круглых скобках – заданную стоимость перевозки. Получим 5(19) 2(20) 6(30) 3(40) 4(70) 14(20) Подсчитаем затраты, соответствующие этому решению. Они равны сумме произведений количества продукции на стоимость перевозки одной единицы продукции. Для нашего решения имеем 5*19+2*20+6*30+3*40+4*70+14*20=1015 (ед.стоим.).

Метод «здравого смысла»

В методе северно-западного угла мы не заботились о том, чтобы делать назначения в клетки с минимальной стоимостью перевозки. Попробуем сделать это в методе «здравого смысла» (его называют также методом минимальной стоимости). Распределение начинаем с элемента минимальной стоимости.

Элемент минимальной стоимости (8) расположен в клетке (3,2) (см.

исходную матрицу). Поэтому с этой клетки начинаем распределять поставки, назначая максимально возможную, т.е. x32=8. Других поставок в этом столбце быть не должно, так как потребности склада 2 исчерпаны. При решении задачи на бумаге рекомендуется вычеркнуть этот столбец из матрицы. Следующий наименьший показатель ищем среди незачеркнутых элементов. Он равен 10 и соответствует клетке (1,4), где вновь выбирается максимально возможная поставка x14=7. Теперь необходимо вычеркнуть первую строку, так как использована вся мощность предприятия 1. Поэтому переходим к клетке (3,4) и т.д. Получим оставшиеся назначения: x34=7, x23=7, x21=2, x31=3.

Снова занесем полученное решение в таблицу.

7(10) 2(70) 7(40) 3(40) 8(8) 7(20) Общие затраты при этом решении равны 2*70+3*40+8*8+7*40+7*10+7*20=814 (ед.стоим.).

Получили снижение затрат на 201 (ед.стоим.).

Метод штрафов Во втором методе мы старались использовать минимальные затраты, но не всегда могли это сделать. Очевидно, необходимо определить поставку по крайней мере в одной клетке каждой строки или хотя бы в одной клетке каждого столбца. В этом алгоритме оцениваются потери (штрафы), обусловленные тем, что мы не используем минимальный показатель затрат в каждой строке и каждом столбце. Эти потери представляют собой разность между наименьшим показателем затрат в строке или столбце и следующим за ним по величине.

Подсчитаем штрафы в каждой строке и каждом столбце. Занесем их в матрицу, добавив еще один столбец справа и строку внизу.

Получим:

1 2 3 4 Штрафы Штрафы Распределение начинаем с клетки (3,2), которой соответствует максимальный штраф (22), и выделим в нее максимально возможный объем, x32=8. Теперь можно исключить столбец 2, что требует пересчета штрафов и корректировки объема, который может быть поставлен предприятием 3.

Нумерацию оставшихся столбцов и строк не меняем. Получим таблицу:

1 3 4 Штрафы Штрафы Теперь наибольший штраф (21) соответствует клетке (1,1). Поэтому в эту клетку направляется максимально возможный объем, x11=5. Исключаем

–  –  –

предыдущее исходное допустимое решение.

2.2.2. Отыскание оптимального решения транспортной задачи Даже последнее найденное решение не является наилучшим из всех возможных, хотя процедура, с помощью которой оно получено, часто приводит к оптимальному решению. Чтобы определить, достигается ли минимум затрат при некотором допустимом решении, необходимо установить, какое влияние оказывает на затраты передвижка единичной поставки для пары поставщик-потребитель (в нашем случае предприятиесклад), не фигурирующей в допустимом решении. Воспользуемся исходной матрицей, в которую вписано наилучшее начальное решение (в нашем случае оно получено методом штрафов):

5(19) 30 50 2(10) 70 30 7(40) 2(60) 40 8(8) 70 10(20) Предположим, что намечается единичная поставка с предприятия 1 на склад 2. Чтобы реализовать эту поставку необходимо вычесть 1 из x14, сохраняя тем самым неизменными суммарные поставки по строке, т.е.

принять x14=1. Единичную поставку, снятую с клетки (1,4) надо в решении передвинуть в другую клетку, а именно в клетку (3,4), положив x34=11.

Теперь необходимо снять единичную поставку из строки 3. Это можно сделать, перемещая поставку из клетки (3,2) в (1,2), приняв x32=7.

Чистое изменение затрат, обозначаемое d12, равно d 12 = C12 C14 + C 34 C 32 = 30 10 + 20 8 = 22 Величина d 12 = 22 называется характеристикой клетки (1,2).

Вычислим характеристики других пустых клеток (т.е.

клеток, не участвующих в решении):

–  –  –

Так как все характеристики клеток положительны, то дальнейшее улучшение решения невозможно (нет возможности какой-либо дополнительной чистой экономии затрат) и полученное решение является оптимальным.

Вычислим затраты, соответствующие оптимальному решению:

5*19+2*30+6*8+7*40+2*10+12*10=743 (ед.стоим.), что на 36 единиц меньше по сравнению с полученным наилучшим допустимым решением.

2.2.3. Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте цель решения распределительных задач.

2. Представьте распределительную задачу в табличной форме.

3. В чем смысл элементов матрицы ( C ij )?

4. Какая задача называется линейной распределительной задачей?

5. Какая задача называется сбалансированной или закрытой?

6. Какая задача называется несбалансированной или открытой?

7. Какая задача называется задачей о назначениях?

8. Какая задача называется транспортной?

9. Какая задача называется общей распределительной задачей?

10. Перечислите методы отыскания начального допустимого решения транспортной задачи.

11. В чем заключается метод северо-западного угла?

12. В чем заключается метод «здравого смысла»?

13. Что называют потерями или штрафом за не использование минимального показателя затрат в каждой строке или каждом столбце?

14. В чем заключается метод штрафов?

15. Что такое характеристика пустой клетки?

16. Как организован поиск оптимального решения транспортной задачи?

2.2.4. Задачи для самостоятельного решения

1. Потренируйтесь в нахождении начального допустимого решения транспортной задачи тремя методами.

а) б)

2. Найти оптимальные решения задач из пункта 1.

–  –  –

Задача о назначении есть полностью вырожденная форма транспортной задачи.

Рассмотрим алгоритм решения таких задач на примере.

Пусть для выполнения пяти различных работ имеется пять человек. Из отчетных данных известно, какое время требуется каждому из них для выполнения каждой работы. Эти данные приведены в таблице.

–  –  –

В данном случае величины C ij представляют собой затраты времени каждого работника на выполнение каждой из работ, а величины x ij равны 1 или 0, причем x ij =1, если работник i назначен на работу j, и 0 во всех

–  –  –

Ясно, что если отбросить последнее условие и заменить его условием x ij 0, то получается транспортная задача, в которой все потребности и все ресурсы равны 1.

Метод решения задачи о назначении основан на двух теоремах. Первая из них утверждает, что решение не изменится, если прибавить к любому столбцу или строке матрицы ( C ij ) некоторую константу или вычесть ее из

–  –  –

Вследствие того, что величины, вычитаемые из Z с целью получения Z ', не зависят от x ij, Z ' достигает минимума всегда, когда минимизируется

–  –  –

Метод решения сводится к прибавлению констант к строкам и столбцам и вычитанию их из строк и столбцов до тех пор, пока достаточное число величин C ij не обращается в нуль, что дает решение, равное нулю.

Отыскание решения начинают, вычитая наименьший элемент из каждой строки исходной матрицы. Результат вычитания приведен в таблице (справа указано сколько единиц вычитали из каждой строки).

–  –  –

Затем, вычитаем минимальный элемент из каждого столбца.

Составляем следующую таблицу (в нижней строке указано сколько единиц вычитали из каждого столбца).

–  –  –

Из столбцов и строк было вычтено всего 10 единиц. Поэтому для правильной оценки любого решения необходимо прибавить к результату 10 единиц.

Прежде всего стремятся отыскать решение, включающее лишь те клетки, в которые стоят нулевые элементы, так как, такое решение, если его удается найти, будет наилучшим из всех возможных. Попробуем найти такое решение среди полученных нулей, помня, что в каждой строке и каждом столбце может быть только одно назначение. Получим допустимое решение.

Оно помечено в таблице круглыми скобками (в этом случае не удалось отыскать решение среди одних нулей).

0 7 (0) 4 0 (4) 6 5 3 0 2 4 3 (0) 0 2 (0) 5 0 0 3 1 7 2 (0) Итак, получено решение: x13=1, x21=1, x34=1, x42=1, x55=1. Суммарные затраты времени на выполнение всех работ равны 14. Это число получим, если сложим затраты времени каждого работника, назначенного на выполнение одной из работ, взятые в исходной таблице.

2.3.1. Алгоритм решения задачи о назначении Для того, чтобы определить, возможно ли улучшение решения, применяется следующий алгоритм.

Шаг 1. Провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули (можно показать, что во всех матрицах n n все нули можно пересечь меньшим числом линий, чем n, тогда и только тогда, когда среди этих нулей решение не содержится).

Использованы только 4 линии, а порядок матрицы пятый, следовательно, нулевые клетки не содержат оптимального решения.

Шаг 2. Выбрать наименьший элемент, через который не проведена линия (в нашем случае – это 1 в клетке (5,2)).

Шаг 3. Вычесть это число из всех элементов, через которые не проведена ни одна линия, и прибавить его ко всем элементам, через которые проведены 2 линии. Другие элементы оставить без изменений.

Этот шаг должен приводить к появлению нуля в клетке, где его ранее не было. В нашем случае – в клетке (5,2).

Шаг 4. Определить, имеется ли решение среди нового набора нулей. (В нашем случае оно отсутствует) Если решение не обнаруживается, то вернуться к шагу 1 и выполнять алгоритм до тех пор, пока не будет найдено решение.

Теперь наименьшее незачеркнутое число 2. Вычтем его из всех элементов, через которые не проведена ни одна линия и прибавим его ко всем элементам, зачеркнутым дважды. Получим три новых нуля в клетках (3,1), (4,1), (5,1). Среди нового набора нулей пытаемся отыскать решение.

Оно помечено в матрице круглыми скобками:

1 0 9 (0) 6 3 2 1 5 2 2 (0) 3 0 4 1 (0) 1 4 0 (0) 3 0 1 5 (0) 0 4 1 0

–  –  –

где Pij есть вероятность того, что исполнитель I i успешно выполнит работу J j. Оценки вероятности того, что исполнитель с определенными характеристиками удовлетворительно выполнит каждую из работ, могут быть определены на основе статистических данных. Максимизация вероятности успешного назначения в целом на все работы осуществляется с помощью такого выбора исполнителей для каждой из работ, при котором достигается максимум произведения вероятностей успешного выполнения ими работы.

2. Минимизация вероятности неуспешного в целом назначения на все виды работ, т.е. требуется найти минимум целевой функции

–  –  –

2.3.2. Модель последовательного назначения исполнителей Рассмотрим модель последовательного назначения исполнителей. В приведенных выше моделях предполагалось, что каждый исполнитель должен выполнить только одну работу, каждая работа поручается только одному исполнителю и все работы распределяются одновременно. Однако на практике подобная ситуация встречается крайне редко. Обычно имеются работы, выполнения которых еще никому не поручено, и назначение исполнителей в этом случае осуществляется постепенно, по мере поступления работ. Этот аспект задач о назначениях изучен относительно мало. Рассмотрим один из подходов к решению таких задач.

Предположим, что имеется n исполнителей для выполнения n работ, причем работы появляются в случайном порядке и исполнители этих работ назначаются также в случайном порядке. После того как определенному исполнителю поручается выполнение той или иной работы, его кандидатура не рассматривается при последующих возможных назначениях. Далее, за выполнение каждой j-й работы

–  –  –

имеющее ценность x j, и для каждого исполнителя i производится оценка вероятности выполнения им работы. При этом предполагается, что эта pi величина является характеристикой исполнителя и не зависит от характера j-й работы, которую он выполняет, и, кроме того, 0 p i 1. Это означает, что если, например, оценка вероятности успешного ведения дел адвокатом равна 1.0. то он всегда выигрывает дело, при оценке 0.0 он всегда проигрывает его, а при оценке 0.5 вероятности выиграть или проиграть дело равны. Очевидно, оптимальным является следующий принцип управления: исполнителю с наибольшей оценкой вероятности успешного выполнения им работы следует поручать работу с наивысшей оплатой, а исполнителю с более низкой оценкой – работу с меньшей оплатой.

2.3.3. Вопросы для самопроверки

1. Вспомните, какая задача называется задачей о назначениях?

2. Какой смысл, в случае задачи о назначениях, имеют элементы матрицы ( C ij )?

3. Какие значения могут принимать неизвестные величины x ij ?

4. Запишите целевую функцию и ограничения к задаче о назначениях.

5. Сформулируйте и докажите теорему 1.

6. Сформулируйте теорему 2. Объясните, почему ее доказательство очевидно.

7. К чему сводится метод решения задачи о назначениях?

8. Опишите алгоритм решения задачи о назначениях.

9. Сколько назначений может быть в каждой строке и каждом столбце матрицы, описывающей задачу о назначениях?

10. Какими способами может быть выбрана целевая функция в задаче о назначениях?

11. Опишите модель последовательного назначения исполнителей.

2.3.4. Задачи для самостоятельного решения

Решите следующие задачи о назначениях:

а)

–  –  –

2.4. Общая линейная распределительная задача В общей распределенной задаче фигурируют ресурсы и работы, измеряемые в различных единицах. Например, завод выпускает n различных изделий в объемах x1, x 2,..., x n, используя различные комбинации m станков разного типа.

Для выпуска единицы продукции j требуется затрата a ij единиц времени станка i, j = 1, m; i = 1, n. Выполнение одной и той же работы на одном станке (например, более старом) может занимать больше времени, чем на другом (более новом). Общий ресурс станочного времени на планируемый период для i-ого станка составляет b j. Известна прибыль на каждую единицу продукции j, равная С j. Все исходные данные сводятся в таблицу.

–  –  –

Эту задачу можно свести к максимизации некоторой линейной функции, на которую наложены линейные ограничения в виде неравенств.

Рассмотрим метод решения таких задач на примере.

Небольшое предприятие выпускает 2 типа автомобильных деталей.

Оно закупает литье, подвергаемое токарной обработке, сверловке, шлифовке.

Станки Деталь А (штук/час) Деталь В (штук/час) Токарные Сверлильные Шлифовальные Каждая отливка для детали А стоит 2 $, для детали В – 3$. Продажная цена деталей равна соответственно 5 и 6 $. Стоимость часа станочного времени составляет по трем типам используемых станков 20, 14 и 17,5 $ соответственно. Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей A и B, нужно найти план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.

Рассчитаем прибыль на одну деталь.

–  –  –

2.4.1. Геометрический способ решения Задача может быть решена графически. Для этого надо построить в одной системе координат границы всех ограничений, то есть графики уравнений 40x+25y=1000, 35x+28y=980, 25x+35y=875.

Так как линия 35x+28y=980 лежит вне заштрихованной области, то ограничения по сверловке являются избыточными.

–  –  –

Видно, что максимум прибыли достигается в точке В. Таким образом, наилучший производственный план заключается в том, чтобы выпускать 16, 93 детали А в час и 12, 9 детали в час. (Эти величины надо рассматривать как средние нормы выпуска).

2.4.2. Симплексный метод

–  –  –

Определение. Элемент, стоящий на пересечении столбца, выбранного на шаге 1 и строки, выбранной на шаге 2, называется направляющим элементом.

Шаг 3. Разделить строку, выбранную на шаге 2 на направляющий элемент. Результат обозначить символом столбца. (В нашем случае элементы строки P5 делятся на 35 и результат получает обозначение P2).

Новая строка P2 будет выглядеть так:

–  –  –

Р2 8 12 25 Р4 30 Теперь все элементы в строке отрицательны. Максимум функции Z достигается при P1 = x = 16 и P2 = y = 12. Видно, что эти результаты совпадают с полученными графическим методом.

2.4.3. Вопросы для самопроверки

1. Вспомните, в каком случае распределительная задача называется общей распределительной задачей?

2. Как представить общую распределительную задачу в виде матрицы?

3. Каков смысл элементов матрицы a ij ?

4. Запишите целевую функцию и ограничения общей распределительной задачи.

5. В чем заключается графический метод решения общей распределительной задачи?

6. В чем суть симплексного метода решения общей распределительной задачи?

2.4.4. Задачи для самостоятельного решения

–  –  –

2.5. Литература

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций: Пер. с англ.- М.:

Мир, 1971. 536с.

2. Таха Х. Введение в исследование операций: Пер. с англ.- М.: Мир,

1985. Кн.1. 479с.

3. Таха Х. Введение в исследование операций: Пер. с англ.- М.: Мир,

1985. Кн.2. 496с.

4. Антонов А.В. Системный анализ: Учеб.для вузов.- М.: Высш.шк., 2004.

454с.

–  –  –

3.1. Природа задач управления запасами Запас состоит из годных к употреблению, но не используемых ресурсов. В качестве ресурсов могут выступать, например, люди, материалы, машины или деньги.

Как правило, целевая функция в задачах такого рода сводится к минимизации общих (фактических или ожидаемых) затрат. Но, если запас оказывает влияние на спрос (т.е. на объем ресурса, требующийся потребителю), то целевая функция может выражаться в максимизации (фактической или ожидаемой) прибыли.

К управляемым переменным в задачах о запасах, которые можно изменять независимо или совместно, относятся:

1) поступающий объем ресурсов (в результате закупки, производства или с помощью каких-либо других средств);

2) частота или сроки поступления ресурсов, т.е. управляемыми переменным являются периодичность и моменты времени;

3) степень готовности продукции, хранящейся в виде запасов. Чем выше степень готовности запасаемой продукции, тем меньше запаздывание в удовлетворении спроса на нее и тем выше затраты, связанные с созданием запаса.

Неуправляемые переменными в задачах о запасах можно разделить на стоимостные и прочие:

1) затраты на содержание запаса.

Это затраты, возрастающие прямо пропорционально увеличению объема запаса и времени хранения. Наиболее очевидной составляющей этих затрат, строго пропорциональной уровню запаса и времени, является стоимость капиталовложений в запасы.

Помимо стоимости капитала необходимо принимать во внимание затраты на учет и административные расходы.

В число прочих составляющих общих затрат на содержание запасов входят:

- затраты на складские операции;

- стоимость хранения;

- страховые взносы и налоги;

- амортизационные отчисления, потери от порчи продукции и потери от морального старения;

2) потери от дефицита и штрафы (это затраты, обусловленные отсутствием в запасе требуемых изделий или товаров);

3) затраты, обусловленные изменением темпа производства;

4) закупочные цены или прямые издержки производства;

5) спрос, т.е. число изделий (объем продукции), требующийся в течение определенного периода времени;

6) срок выполнения заказа, т.е. интервал времени между моментом реализации заказа и моментом пополнения запаса.

7) объем поставляемой продукции.

Задачи управления запасами возникают повсеместно в самых разнообразных ситуациях. Например, руководство коммерческих авиакомпаний должно принимать решения относительно того, насколько часто требуется организовывать курсы подготовки стюардесс и какое число учащихся набирать на эти курсы. Если выпускать («производить») слишком много стюардесс, то компания должна выплачивать зарплату лишним стюардессам. Если же готовить их в недостаточном числе, то приходиться либо отменять некоторые рейсы, либо принимать какие-то чрезвычайные меры, что влечет за собой затраты из-за дефицита. Большинство задач обеспечения «рабочей силой» относится к классу задач управления запасами.

Вопрос о том, какой объем оборотного капитала следует иметь фирме, также относится к категории задач управления запасами. Если в наличии имеется избыток капитала, то теряются доходы от возможных вложений этого избытка, что представляет собой затраты на содержание запаса. Если же ощущается недостаток оборотных средств, то приходиться прибегать к займам, по которым выплачиваются проценты, что эквивалентно потерям от дефицита. Кроме того, приходиться нести расходы, эквивалентные затратам на подготовительно-заключительные операции, связанные с получением займов.

Хотя задачи об управлении запасами возникают в самых разнообразных условиях, наиболее часто они встречаются при закупках и производстве товаров.

3.2. Структура систем управления запасами Рис. 1. Динамика управления запасами в типичной системе Такие системы описываются уравнением, связывающим запас в момент t с запасом в некоторый более поздний момент t '.

Обозначим через I t – запас в момент t;

S – пополнение запаса на интервале (t, t ' ) ;

D – спрос.

Физический уровень запаса в момент t ' определяется уравнением I t' = I t + S D (1) при условии, когда величина I t ' положительна.

Но если спрос превышает предложение, то физический уровень запаса станет равным нулю.

Возможны 2 ситуации:

1) Если избыточный спрос учитывается как невыполнение заказа и удовлетворяется как только появляется необходимое количество товаров, то невыполнение заказов можно рассматривать как отрицательный запас, и уравнение (1) выполняется при любых значениях I t, S и D.

2) Если избыточный спрос не удовлетворяется или если заказы, входящие в эту категорию, выполняются особым образом (например, за счет экстренных закупок или ускорения темпа производства), то избыток спроса не влияет на запас и при отрицательном значении выражения I t + S + D имеет место равенство I t' = 0.

С математической точки зрения потери, обусловленные неудовлетворенным спросом, так же как и удовлетворение этих потребностей за счет особых мер, оказывают одинаковое влияние на запас, но, конечно, не на сбыт.

3.3. Общая детерминированная задача для однородной продукции при одном уровне управления Допущение о полной определенности (т.е. о точном знании значений параметров, фигурирующих в задаче), используемое в данной постановке, приводит к существенному упрощению большинства реальных ситуаций.

Тем не менее, такая постановка задачи о запасах широко распространена, а ее решение часто дает хорошие результаты.

Построение модели выполняется в 3 этапа:

1. Находится выражение средних затрат, отнесенных к принятой единице времени;

2. Это выражение упрощается за счет использования соотношений между некоторыми переменными с целью сокращения числа переменных в модели;

3. Находятся значения остальных переменных, минимизирующие средние затраты.

Рис. 2. Цикл изменения запаса

–  –  –

3.4. Вопросы для самопроверки

1. Что такое запас?

2. Что может выступать в качестве ресурсов?

3. К чему сводится целевая функция в задачах управления запасами?

4. Какие переменные относятся к управляемым в задачах о запасах?

5. На какие категории делятся неуправляемые переменные в задачах о запасах?

6. Какие переменные относятся к каждой категории неуправляемых переменных в задачах о запасах?

7. Приведите примеры ситуаций, в которых встречаются задачи управления запасами.

8. Как геометрически можно изобразить структуру систем управления запасами?

9. Какие параметры связывает уравнение, описывающее систему управления запасами?

10. Каковы три этапа построения модели детерминированной задачи для однородной продукции при одном уровне управления?

11. Изобразите геометрически цикл изменения запаса.

12. Определите по рисунку, чему равны общие затраты на хранение запаса.

13. Определите по рисунку, чему равны общие потери от дефицита.

14. Запишите формулу, выражающую средние затраты в единицу времени.

15. Какие соображения позволяют сократить количество переменных в выражении для средних затрат, оставив всего две независимые переменные?

16. Какие действия необходимо выполнить для отыскания оптимальных значений t 0 и t 0 величин t 2 и t 3 ?

17. Попробуйте, самостоятельно проделав пропущенные выкладки, получить выражение для оптимального размера партии.

3.5. Задачи для самостоятельного решения

1. Цена продукции составляет 235 рублей за тонну. Месячный спрос на эту продукцию равен 5 т, а при каждом пополнении запаса затраты на подготовку ее производства составляют 1000 рублей. Годовые затраты на хранение запаса составляют 10% его стоимости. Каков оптимальный размер партии?

3.6. Литература

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций: Пер. с англ.- М.:

Мир, 1971. 536с.

2. Антонов А.В. Системный анализ: Учеб.для вузов.- М.: Высш.шк., 2004.

454с.

Раздел 4. Задачи массового обслуживания Модели теории массового обслуживания находят применение при решении задач системного анализа в случае, когда исследуемые величины имеют случайный характер.

К числу таких задач относятся задачи управления запасами при случайном спросе, задачи организации предприятий торговли, связи, бытового и медицинского обслуживания, организации технического обслуживания предприятий, вопросы снабжения запасными частями и механизмами и т.п.

Рассмотрим систему, выполняющую определенную работу или предоставляющую услуги. Эта система, в которую поступают объекты, нуждающиеся в услугах или производстве работ, называется обслуживающей системой, а сами объекты называются требованиями.

Они могут представлять собой письма, нуждающиеся в подписи, автомашины, которым нужна стоянка, суда, подлежащие разгрузке, детали, требующие сборки. Если требования поступают в систему слишком часто, то им приходится ожидать обслуживания или обходиться без него. Если требования поступают слишком редко, то ожидать (то есть простаивать) приходится средствам обслуживания, которые называются приборами или каналами. Ожидающие обслуживания требования или простаивающие приборы образуют очередь.

Совокупность правил, по которым из очереди выбираются требования для обслуживания, называются дисциплиной обслуживания. Например, живая очередь (то есть «первым пришел - первым обслужен», FCFS), LCFS (последним пришел – первым обслужен), RANDOM (очередное требование выбирается из очереди случайным образом).

При наличии требований, поступающих в систему обслуживания таким образом, что либо сами требования, либо средства обслуживания вынуждены ожидать, возникает процесс массового обслуживания.

Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов.

Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.

Примеры содержательной постановки задач этого класса:

- сколько требуется контрольных касс в супермаркете?

- сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?

- сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?

- сколько мест для автомашин оборудовать в гараже?

- сколько продавцов нужно иметь в универмаге?

- сколько ремонтных бригад содержать на промышленном предприятии?

- сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники?

- сколько коек требуется для больницы?

- как составить расписание прибытия самолетов в город?

- как составить железнодорожное расписание или расписание работы автомобильного парка?

Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудование или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники.

Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший заказ, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование.

Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь – это число еще не выполненных заказов.

Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования (то есть требования, покинувшие систему) могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы.

Задачи, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов (или люди обращаются за услугами в другое место, покупают меньше, чем намеривались, или не обращаются к данной системе в будущем), или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.

4.1. Основные понятия теории массового обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) обеспечивает обслуживание требований, поступающих в нее из источника требований и возвращающихся после обслуживания в источник. Обслуживание требований производится обслуживающими приборами. Система может содержать от одного до бесконечного числа приборов. Выбор очередного требования из очереди на обслуживание производится с помощью некоторой дисциплины обслуживания.

Случайные последовательности требований, которые поступают в систему обслуживания и которые необходимо обслужить, называются

–  –  –

Совместное проявление этих трех свойств – стационарности, отсутствия последействия и ординарности – характеризует пуассоновский поток.

Последовательность длительностей обслуживания на любом приборе, как правило, предполагается последовательностью независимых одинаково распределенных положительных случайных величин. Последовательность интервалов обслуживания, естественно, не содержит промежутков времени, когда прибор обслуживания свободен от требований. Особенно важен случай, когда длительности обслуживания имеют одинаковое экспоненциальное распределение с параметром.

При рассмотрении систем массового обслуживания будем использовать следующие обозначения:

– интенсивность входящего потока требований;

– интенсивность обслуживания требований одним прибором;

– число обслуживающих приборов в системе;

– коэффициент использования обслуживающих приборов системы;

b - математическое ожидание (м.о.) числа требований в очереди;

g - м.о. числа свободных приборов в СМО;

Pn - стационарная вероятность пребывания в СМО точно n требований.

4.2. Постановка задачи и метод решения

Рассмотрим задачу. На автомобильном заводе сложилась такая ситуация, что нельзя предоставить рабочим одновременно все необходимые для работы инструменты. Разнообразные инструменты имеются на складе.

Поэтому при получении инструментов наблюдается образование очередей рабочих у склада. Очевидно, следует уменьшить время ожидания рабочих в очереди, так как оно потеряно для производства. Один кладовщик может обслуживать одновременно только одного рабочего. Если кладовщиков слишком много, то очереди рабочих не будет, но невыгодно платить «простаивающим» кладовщикам. Если кладовщиков недостаточно, то будут образовываться длинные очереди. Таким образом, возникает следующая задача: определить оптимальное количество кладовщиков в том смысле, чтобы время, потерянное рабочими, с одной стороны, и кладовщиками, с другой, приводило бы к минимальным затратам, если себестоимость часа рабочего равна 6 руб., а себестоимость часа кладовщика – 3 руб.

Исследование начинается с определения статистических характеристик процесса поступления рабочих (требований) в кладовую и времени, затрачиваемого кладовщиками (приборами) на их обслуживание. Изучение входящего потока производится следующим образом. Каждые 10 минут в течение 100 последовательных десятиминутных интервалов отмечается число рабочих, пришедших в инструментальную кладовую за получением инструментов. Вычисляются частоты, соответствующие наблюдаемым числам. Результаты приведены в табл.1.

Таблица 1.

ий за 10

–  –  –

0,099 0,12 0,001 5 0,01 0,093 0,08 0,002 0,083 0,09 0,006 7 0,01 0,069 0,07 0,012 8 0,02 0,055 0,05 0,021 9 0,01 0,042 0,04 0,034 10 0,03 0,031 0,03 0,049 11 0,05 0,021 0,01 0,066 12 0,06 0,014 0,01 0,081 13 0,09 0,009 0,01 0,093 14 0,10 0,099 15 0,11

–  –  –

где Pn (t ) - вероятность того, что за время t произойдет n поступлений при =1.6 и t=10. Затем с помощью критерия 2 проверяется приемлемость гипотезы о пуассоновском распределении исследуемой совокупности.

2 =12.

Оказывается, что при числе степеней свободы, равном 19, Вероятность того, что экспериментальное распределение является пуассоновским, больше 0.88. Таким образом, можно допустить, что распределение соответствует закону Пуассона с =1.6.

Для измерения длительности обслуживания используют счетчик.

Счетчик включают в начале обслуживания и выключают в конце. Таким образом регистрируется продолжительность 1000 обслуживаний. Затем вычисляются частоты, соответствующие интервалам 0 – 15, 16 – 30, 31 – 45,..., 301 – 315 секунд, которые приведены в табл. 2.

Используя значения наблюдаемых частот, вычислим среднее значение длительности обслуживания =1.1 минуты. Отсюда следует, что интенсивность обслуживания =1/1.1=0.9 требований в минуту. В третьем столбце табл.2 приведены значения статистической функции распределения, которая строится по наблюдаемым частотам. Четвертый столбец табл.2 содержит значения вероятностей, соответствующих экспоненциальному распределению P{ t} = 1 e t при =0.9, где – случайная величина, длительность обслуживания требования. В данном случае критерий 2 дает

–  –  –

0,593 0,592 0,104 60 (46 – 60) 0,675 0,670 0,078 75 (61 – 75) 0,740 0,739 0,069 90 (76 – 90) 0,793 0,790 0,051 105 (91 – 105) 0,835 0,837 0,047 120 (106 – 120) 0,868 0,875 0,038 135 (121 – 135) 0,895 0,905 0,030 150 (136 – 150) 0,916 0,921 0,016 165 (151 – 165) 0,933 0,938 0,017 180 (166 – 180) 0,946 0,949 0,011 195 (181 – 195) 0,957 0,956 0,007 210 (196 – 210) 0,966 0,965 0,009 225 (211 – 225) 0,973 0,974 0,009 240 (226 – 240) 0,978 0,979 0,005 255 (241 – 255) 0,983 0,983 0,004 270 (256 – 270) 0,986 0,987 0,004 285 (271 – 285) 0,989 0,990 0,003 300 (286 – 300) 0,999 0,010 315 (301 – 315) В качестве модели рассматриваемой системы будем использовать систему массового обслуживания. Поток рабочих на склад соответствует входящему потоку требований в СМО. Длительность обслуживания рабочего кладовщиком соответствует длительности обслуживания требования прибором обслуживания. Число кладовщиков на складе соответствует числу обслуживающих приборов в СМО.

Как было показано выше, входящий поток требования в систему является пуассоновским с интенсивностью, а длительность обслуживания требований на каждом приборе обслуживания представляет собой последовательность независимых одинаково распределенных экспоненциально случайных величин.

Определим функцию потерь R() в единицу времени следующим образом:

R()= 6 b + 3 g, (1) где – число обслуживающих приборов СМО, b - м.о. числа требований в очереди СМО (рабочих), g - м.о. числа свободных приборов (кладовщиков).

Из теории массового обслуживания известно, что

–  –  –

где g = (1 ).

Определим значение числа обслуживающих приборов, обеспечивающее минимум функции потерь. Можно показать, что функция R() имеет только один минимум. Определим минимум этой функции путем ряда последовательных приближений. Вычислим м.о.

числа требований в очереди при, равном 2, 3, 4, 5:

=2, b =6,693; =4, b =0,099;

=3, b =0,502; =5, b =0,021.

Вычислим м.о. числа свободных приборов при тех же значениях :

=2, g =0,222; =4, g =2,222;

=3, g =1,222; =5, g =3,222.

Используя формулу (1), вычислим функцию потерь для различных значений :

R(2)=40.824; R(4)=7.262;

R(3)=6.68; R(5)=9.795.

Отсюда видно, что минимальное значение функции потерь достигается при =3. Таким образом, оптимальное число кладовщиков равно трем.

4.3. Вопросы для самопроверки

1. Что такое обслуживающая система?

2. Что такое требование?

3. Что такое обслуживающий прибор?

4. Что такое очередь?

5. Что такое дисциплина обслуживания? Приведите примеры.

6. Что является задачей массового обслуживания?

7. Сформулируйте цель решения задач массового обслуживания.

8. Приведите примеры содержательных постановок задач массового обслуживания.

9. Что называют потоком требований?

10. Дайте определение рекуррентного потока.

11. Дайте определение пуассоновского потока.

12. Перечислите и сформулируйте свойства пуассоновского потока.

13. Вспомните, что такое пуассоновское распределение.

14. Вспомните, что такое экспоненциальное распределение.

15. Опишите модель рассмотренной в п.4.2. задачи.

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Определить оптимальное количество кладовщиков при условии, что поступление рабочих на склад описывается пуассоновским распределением с параметром и длительности обслуживания рабочих имеют экспоненциальное распределение с параметром. Оптимальность понимается в следующем смысле: минимизация времени, потерянного, с одной стороны, рабочими в очередях, и, с другой стороны, кладовщиками при простое. Себестоимость часа рабочего равна a, себестоимость часа кладовщика – b.

–  –  –

1. Митрофанов Ю.И. Основы теории сетей массового обслуживания.

Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1993.116с.

2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания/ Пер. с англ. М.:

Машиностроение, 1979. 432с.

3. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения/ Пер.

с фр. М.: Мир, 1965. 303с.

5. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:

Наука, 1979.496с.

–  –  –

груз необходимо развести пяти потребителям В1, В 2, В3, В 4, В5, потребности которых в данном грузе составляют b1, b 2, b 3, b 4, b 5 т. соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Матрица тарифов и значения a i, b j приведены в таблице. Требуется спланировать перевозки так, чтобы их

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 14 b 1 = 5 P1 = 350 C1 = 10 a 2 = 14 b 2 = 8 P2 = 392 C 2 = 5 a 3 = 6 b 3 = 12 P3 = 400

3. Решить задачу о назначении Вариант №2.

1. На трех базах А1, А 2, А 3 находится однородный груз в количестве а 1, а 2, а 3 т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В1, В 2, В3, В 4, В5, потребности которых в данном грузе составляют b1, b 2, b 3, b 4, b 5 т. соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Матрица тарифов и

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 16 b1 = 4 P1 = 400 C1 = 9 a 2 = 9 b 2 = 9 P2 = 333 C 2 = 12 a 3 = 5 b 3 = 12 P3 = 360

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 12 b1 = 3 P1 = 264 C1 = 6 a 2 = 4 b 2 = 5 P2 = 136 C 2 = 4 a 3 = 3 b 3 = 14 P3 = 266

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 14 b1 = 4 P1 = 252 C1 = 30 a 2 = 4 b 2 = 4 P2 = 120 C 2 = 40 a 3 = 2 b 3 = 12 P3 = 240

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 15 b1 = 2 P1 = 285 C1 = 15 a 2 = 4 b 2 = 3 P2 = 113 C 2 = 9 a 3 = 4 b 3 = 14 P3 = 322

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 16 b1 = 2 P1 = 304 C1 = 10 a 2 = 3 b 2 = 2 P2 = 83 C 2 = 12 a 3 = 3 b 3 = 15 P3 = 375

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 13 b1 = 2 P1 = 260 C1 = 12 a 2 = 4 b 2 = 4 P2 = 124 C 2 = 10 a 3 = 3 b 3 = 14 P3 = 280

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 9 b1 = 5 P1 = 1431 C1 = 3 a 2 = 7 b 2 = 8 P2 = 1224 C 2 = 2 a 3 = 4 b 3 = 16 P3 = 1328

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 6 b1 = 3 P1 = 714 C1 = 3 a 2 = 5 b 2 = 10 P2 = 910 C 2 = 9 a 3 = 3 b 3 = 12 P3 = 948

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 15 b1 = 4 P1 = 255 C1 = 6 a 2 = 5 b 2 = 3 P2 = 100 C 2 = 8 a 3 = 4 b 3 = 8 P3 = 192

3. Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a 1 = 14 b1 = 5 P1 = 350 C1 = 10 a 2 = 14 b 2 = 8 P2 = 392 C 2 = 5 a 3 = 6 b 3 = 12 P3 = 40

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 16 b1 = 4 P1 = 400 C1 = 9 a 2 = 9 b 2 = 9 P2 = 333 C 2 = 12 a 3 = 5 b 3 = 12 P3 = 360

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 12 b1 = 3 P1 = 264 C1 = 6 a 2 = 4 b 2 = 5 P2 = 136 C 2 = 4 a 3 = 3 b 3 = 14 P3 = 266

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 14 b1 = 4 P1 = 252 C1 = 30 a 2 = 4 b 2 = 4 P2 = 120 C 2 = 40 a 3 = 2 b 3 = 12 P3 = 240

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 15 b1 = 2 P1 = 285 C1 = 15 a 2 = 4 b 2 = 3 P2 = 113 C 2 = 9 a 3 = 4 b 3 = 14 P3 = 322

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 16 b1 = 2 P1 = 304 C1 = 10 a 2 = 3 b 2 = 2 P2 = 83 C 2 = 12 a 3 = 3 b 3 = 15 P3 = 375

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 13 b1 = 2 P1 = 260 C1 = 12 a 2 = 4 b 2 = 4 P2 = 124 C 2 = 10 a 3 = 3 b 3 = 14 P3 = 280

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 9 b1 = 5 P1 = 1431 C1 = 3 a 2 = 7 b 2 = 8 P2 = 1224 C 2 = 2 a 3 = 4 b 3 = 16 P3 = 1328

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 6 b1 = 3 P1 = 714 C1 = 3 a 2 = 5 b 2 = 10 P2 = 910 C 2 = 9 a 3 = 3 b 3 = 12 P3 = 948

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 15 b1 = 4 P1 = 255 C1 = 6 a 2 = 5 b 2 = 3 P2 = 100 C 2 = 8 a 3 = 4 b 3 = 8 P3 = 192

3.Решить задачу о назначении

–  –  –

2. Предприятие выпускает 2 вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида a 1, a 2, a 3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b 2, b 3 кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P1, P2, P3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет C1 руб., а единицы изделия В

– C 2 руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость продукции. Решить

а) геометрически;

б) симплекс-методом.

a1 = 1 b1 = 1 P1 = 10 C1 = 2 a 2 = 2 b 2 = 3 P2 = 5 C 2 = 3 a 3 = 7 b 3 = 4 P3 = 6

Похожие работы:

«1 RFID-система идентификации и контроля за Продукты и передвижением автотранспорта услуги для электронные магнитные карточки датчики контроля профессионалов периметра весов бесконтактные носители информации (активные метки транспондеры) Сигнализаторы уровня Система температурного мониторинга роторные лопастные термоподвески мембра...»

«Никита Замеховский-Мегалокарди ПОЭТ. ФИЛОСОФ. СЕРФЕР На самом деле я самому себе не могу объяснить, чем занимаюсь. Я живу. И поэзия, и серфинг – это не профессии, если бы я мог ими не заниматься, то не занимался бы. И я – это не только...»

«А. Ю. Бердникова*8 УДК 1 (091) "ВООБРАЖАЕМЫЙ ДИАЛОГ" КАНТА И ЛЕЙБНИЦА В ТРАДИЦИИ РУССКОГО ПЕРСОНАЛИЗМА КОНЦА XIX — НАЧАЛА XX В. В статье анализируются основные проблемы рецепции идей Канта и Лейбница представителями русского метафизического персонализма (неолейбницеанства)...»

«"Постоянно святой" Перед Вами стенографический текст проповеди, и так как устная речь отличается от письменной, то некоторые нюансы, передаваемые интонацией, здесь будут потеряны. (компьютерный набор и редактирование – Сайфуллин Ильгиз) Всех поздравляю с п...»

«рдена и наградные знаки Лоты 1 – 34 Аукционный дом "КАБИНЕТЪ" 1 Звезда ордена Святого Андрея Первозванного Российская империя, частная мастерская. Конец XIX века. Размер 80 х 80 мм. Вес 47,62 г. Серебро, золото, позолота, эмаль. Незначительные сколы синей эмали медальона, следы старой реставрации. Исключительная редкость. Орден Свято...»

«Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 1(21), 2016 г., [75–83] УДК 633.174:631.417.2 С. Г. Балакай Российский научно-исследовательский институт проблем мелиорации, Новочеркасск, Российская Федерация В. С. Дорошкевич Донецкий национальный университет, Донецк, ДНР (Украина) РОЛЬ...»

«Выписка из протокола № 5 заседания Совета директоров Открытого акционерного общества "Группа "РАЗГУЛЯЙ" (далее также – "Общество") Полное фирменное наименование: Открытое акционерное общество "Группа "РАЗГУЛЯЙ". Сокращенное фирменное наименование: ОАО "Группа "РАЗГУЛЯЙ". Место нахождения Общества...»

«Руководство пользовател Cybook Odyssey Сенсорный экран | Wi-Fi | электронна бумага Copyright © 2011 Bookeen. Все права защищены. Cybook Odyssey Руководство пользовател Информаци в насто щем документе представлена как есть, не содержи...»

«С проблемой композиции производного слова связана иная про­ блема проблема развития полисемии. Исследование полисемии проиодится в двух направлениях: первое призвано объяснить, как на базе Iфототипического значения формируется цепочка производных от не­ го значений; второе как те...»

«Леонид Александрович Китаев-Смык Организм и стресс: стресс жизни и стресс смерти Издательский текст http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=5973286 Организм и стресс. Стресс жизни и стресс смерти: Смысл; М.; 2012 ISBN 978-5-89357-311-4 Аннотац...»

«ПОЛИТИКА РЕГУЛИРОВАНИЯ ИММИГРАЦИОННЫХ ПОТОКОВ И ИНТЕГРАЦИИ ИММИГРАТНОВ В ВЕДУЩИХ ЕВРОПЕЙСКИХ СТРАНАХ Т.С. Соколова1 Ключевые слова: иммигранты, иммиграционная политика, интеграция, социальные конфликты, политическое развитие. Keywords: immigrants, immigration policy, integrat...»

«Слюдоленты Cablosam® для огнестойких кабелей 2 Слюдоленты Cablosam® для огнестойких кабелей We Enable Energy Фон Ролл (Von Roll), одна из старейших промышленных групп Швейцарии, основана в 1803 году. Мы специализируемся на продуктах и системах для производства, передачи и распределения эн...»

«ОНОМАСТИКА: ОБЩИЕ ВОПРОСЫ Е.Л. Березович К ПОСТРОЕНИЮ КОМПЛЕКСНОЙ МОДЕЛИ ТОПОНИМИЧЕСКОЙ СЕМАНТИКИ Семантика имени собственного долгое время играла в отечественной ономастике роль того "мальчика", который рос и мужал вопреки сомнениям окружающих относительно самого факта его существования...»

«ПУСТОТА. ЛЕКЦИЯ 17. Если все феномены являются простыми наименованиями, то, как же они могут выполнять функции? Название не может функционировать. Как утверждает Прасангика Мадхъямика, нет никакого объективного и никакого субстанционального существования, все явления существуют только номинально. В монастырях на эту тему ведут дисп...»

«Договор на оказание услуг связи № от. 20. г.Майкоп Учётные данные физического лица ФИО Дата и место рождения Документ паспорт удостоверение личности Серия Номер Кем и когда выдан Адрес регистрации Адрес подключения Электронная почта Контактный телефон Логи...»

«Articles DC5m Ukraine mix in russian 1594 articles, created at 2017-03-02 03:10 В Молдавии меру пресечения 1 /1594 судье Чаусу изберут 2 марта (22.99/23) Молдавский суд 2 марта выберет м...»

«СОВЕТ РОДИТЕЛЯМ. КАК ОПРЕДЕЛИТЬ СПОСОБНОСТИ РЕБЕНКА? Поиск и систематизация материала Ивановой Ольги Ивановны – заместитель директора по воспитательной работе БОУ ДОД г.Омска ЦДТ "Созвездие" Многих родителей волнует, способен...»

«Ван Ин ПРЕТВОРЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ИГРЫ НА НАЦИОНАЛЬНЫХ ДУХОВЫХ ИНСТРУМЕНТАХ В КИТАЙСКОЙ ФОРТЕПИАННОЙ МУЗЫКЕ Работа представлена кафедрой музыкального воспитания и образования. Научный руководитель – кандидат искусствоведения, профессор Р. Г. Шитикова Статья посвящена...»

«Г.Ю.Ризниченко Наука и нравственность. Памяти С.П.Курдюмова Ушел в мир иной Сергей Павлович Курдюмов, и все мы еще раз убедились, что законы мироздания вечны, что каждый человек приходит в этот мир, живет положенный ему срок и проходит предназначенный ему судьбой и/или выбранный им путь, – и уходит. В заголовок этого текста по...»

«Самович Ю. В.СУДЕБНАЯ ЗАЩИТА ИНДИВИДА В МЕЖДУНАРОДНОМ СУДЕ ОРГАНИЗАЦИИ ОБЪЕДИНЕННЫХ НАЦИЙ Адрес статьи: www.gramota.net/materials/1/2007/2/154.html Статья опубликована в авторской редакции и отражает точку зрения автора(ов) по рассматриваемому вопросу. Источник Альманах современной науки и образования Тамбов: Гра...»

«Document print-M.qxd 29.05.2006 16:00 Page 9 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ Document print-M.qxd 29.05.2006 16:00 Page 10 Государственная и этническая идентичность: выбор и подвижность* Л.М. Дробижева Тема идентичностей – одна из наиболее реагирующих на поли тические перемены в стране и в мире в целом. Каж...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.