WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«§11. Аффинная алгебраическая геометрия 11.1. Системы полиномиальных уравнений. Всякое множество полиномиальных уравнений (,,., ) = 0, [,,., ], (11-1) имеет те ...»

§11. Аффинная алгебраическая геометрия

11.1. Системы полиномиальных уравнений. Всякое множество полиномиальных

уравнений

(,, …, ) = 0, [,, …, ], (11-1)

имеет те же решения, что и система уравнений, левые части которых составляют в

[,, …, ] идеал = ( ), порождённый многочленами. В силу нётеровости

кольца многочленов эта большая система, в свою очередь, эквивалентна конечному

множеству уравнений, отвечающих образующим идеала, причём образующие можно выбрать из первоначальной системы (11-1). Таким образом, любая (в том числе бесконечная) система полиномиальных уравнений равносильна, с одной стороны, некоторой своей конечной подсистеме, а с другой стороны, системе, левые части которой образуют в кольце многочленов идеал.

Множество () { | () = 0 } всех решений системы (11-1), левые части которой пробегают идеал [,, …, ], называется аффинным алгебраическим многообразием, задаваемым идеалом. Отметим, что это множество может оказаться пустым: например, это так, когда = (1) = [,, …, ] содержит уравнение 1 = 0.

Для произвольной фигуры множество всех многочленов, тождественно зануляющихся на, образует в кольце многочленов идеал, который обозначается () { [,, …, ] | () = 0 } и называется идеалом фигуры. Множество нулей (()) этого идеала — наименьшее аффинное алгебраическое многообразие, содержащее.

Для любого идеала [,, …, ] имеется тавтологическое включение (()).

Вообще говоря, оно строгое: например, при = 1 для идеала = ( ) многообразие () = {0}, тогда как идеал (()) = () ( ) =.



Теорема 11.1 (Nullstellensatz, или теорема Гильберта о нулях) Над алгебраически замкнутым полем для любого идеала [,, …, ] имеют место слабая теорема о нулях: () = 1 и сильная теорема о нулях:

(()) для некоторого.

Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение, достаточно для каждого собственного1 идеала [,, …, ] указать точку, в которой зануляются все многочлены из. Если имеется необратимый по модулю многочлен, идеал = (, ) не содержит 1 и строго больше, чем. Поскольку увеличение идеала только усложняет нам задачу, мы можем заменить на. В виду нётеровости кольца многочленов конечное число таких расширений приведёт нас к максимальному т. е. отличного от всего кольца многочленов

11.2. Аффинный алгебро-геометрический словарик собственному идеалу, фактор по которому [,, …, ] является полем. Поскольку это поле конечно порождено как -алгебра, каждый его элемент алгебраичен над, т. е. удовлетворяет уравнению () = 0, где () [] — неприводимый приведённый многочлен. Так как поле алгебраически замкнуто, многочлен линеен, а значит,. Таким образом, [,, …, ] =, т. е. любой многочлен [,, …, ] сравним по модулю идеала с некоторой константой. Пусть переменная сравнима с. Так как редукция по модулю является гомоморфизмом, каждый многочлен (,, …, ) (,, …, ) (mod ). Следовательно, все многочлены зануляются в точке = (,, …, ), что и требовалось.

Докажем второе утверждение. При () = оно тривиально, поэтому мы будем считать, что (), т. е. (1). Вложим в большее пространство + с координатами (,,, …, ) в качестве гиперплоскости = 0. Коль скоро многочлен [,, …, ] [,,, …, ] тождественно обращается в нуль на (), многочлен (, ) = 1 () тождественно равен единице на цилиндре () +. Поэтому порождённый и многочленом (, ) идеал в [,,, …, ] имеет пустое множество нулей в + и по слабой теореме о нулях содержит единицу, т. е. существуют такие,, …, [,,, …, ] и,, …,, что (, ) 1 () + (, ) () + + (, ) () = 1.

Применяя к этому равенству гомоморфизм [,,, …, ] (,, …, ), действующий на переменные по правилам 1(),, получаем равенство 1(), () + + 1(), () = 1 в поле рациональных функций (,, …, ). Так как идеал не содержит единицы, некоторые из 1 (), имеют нетривиальные знаменатели, причём в качестве общего знаменателя всех 1(), можно взять некоторую степень. Умножая обе части равенства на эту степень получаем () = () () + + () () для некоторых [,, …, ].

11.2. Аффинный алгебро-геометрический словарик. Всюду далее мы по умолчанию считаем, что основное поле алгебраически замкнуто. Аффинные алгебраические многообразия, определённые над полем, образуют категорию ff, морфизмами в которой являются такие отображения из аффинного алгебраического многообразия в аффинное алгебраическое многообразие, которые задаются в координатах формулой = (,, …, ) (), (), …, (), где () [,, …, ] являются многочленами. Такие отображения называются регулярными или полиномиальными. В частности, функция регулярна, если она является ограничением на некоторого многочлена [,, …, ].

Регулярные функции на образуют конечно порождённую приведённую1 -алгебру, которая обозначается [] Homff (, ) [,, …, ](), (11-2) коммутативная алгебра (или кольцо) называется приведённой, если в ней нет нильпотентов — таких ненулевых элементов, что = 0 для некоторого 148 §11 Аффинная алгебраическая геометрия где () = { [,, …, ] | | 0} — идеал всех многочленов, тождественно зануляющихся на.

Лемма 11.1 Всякая конечно порождённая приведённая алгебра над алгебраически замкнутым полем изоморфна координатной алгебре = [] некоторого аффинного алгебраического многообразия.

Доказательство. Зададим алгебру образующими и соотношениями, т. е. представим её в виде фактор алгебры = [,, …, ]. Приведённость алгебры означает, что [,, …, ]. По сильной теореме о нулях это равносильно тому, что = (()) является идеалом аффинного алгебраического многообразия ().

11.2.1. Максимальный спектр. С каждой точкой аффинного алгебраического многообразия связан гомоморфизм вычисления ev [], ().

Переводя единицу в единицу, он эпиморфен, т. е. является факторицацией по модулю своего ядра ker ev = ({}) = { [] | () = 0} :

[] ev [], (mod ) = ().

Так как фактор [] является полем, идеал [] максимален. Он называется максимальным идеалом точки.

Множество всех максимальных идеалов произвольной -алгебры называется её максимальным спектром и обозначается Specm (). Каждой точке Specm отвечает гомоморфизм факторизации, (mod ), принимающий значения в поле. Если алгебра конечно порождена, поле тоже конечно порождено как -алгебра. Над алгебраически замкнутым полем это влечёт за собой равенство =, что позволяет интерпретировать элементы любой конечно порождённой алгебры над алгебраически замкнутым полем как функции на Specm со значениями в поле.

Лемма 11.2 Для любого аффинного алгебраического многообразия над алгебраически замкнутым полем соответствия ev = ker(ev ) устанавливают биекции между точками многообразия, гомоморфизмами [], тождественными на, и максимальными идеалами алгебры [].

Доказательство. Биективность второго соответствия мы уже проверили выше1. Сопоставление точке её максимального идеала = ker ev = ({}) вкладывает множество точек в множество максимальных идеалов, поскольку для отметим, что и над алгебраически незамкнутым полем сопоставление ker вкладывает множество тождественных на поле гомоморфизмов в множество максимальных идеалов алгебры, однако над незамкнутым полем не все максимальные идеалы в являются ядрами гомоморфизмов вычисления со значениями в поле : например, ядро гомоморфизма вычисления ev [], (), где = 1, является максимальным идеалом -алгебры [], но его нельзя реализовать как ядро вычисления [], поскольку codim ker ev = 2

11.2. Аффинный алгебро-геометрический словарик всегда1 можно указать аффинно линейную функцию зануляющуюся в и отличную от нуля в. Чтобы показать, что над алгебраически замкнутым полем любой максимальный идеал [] = [,, …, ]() имеет вид = ker ev для некоторой точки, рассмотрим полный прообраз [,, …, ] идеала. Поскольку [,, …, ] = [] =, идеал является собственным, максимальным и содержит (). По слабой теореме о нулях (), т. е.

для некоторой точки. Поскольку (), точка. Так как максимален, включение влечёт равенство =.

Определение 11.1 Множество нильпотентных элементов2 () { | = 0} произвольного коммутативного кольца называется нильрадикалом этого кольца.

Упражнение 11.1. Убедитесь, что нильрадикал является идеалом в.

Следствие 11.1

Нильрадикал произвольной конечно порождённой алгебры над алгебраически замкнутым полем совпадает с пересечением её максимальных идеалов:





–  –  –

Иначе говоря, нильрадикал является ядром гомоморфизма из алгебры в алгебру функций на Specm, сопоставляющего элементу функцию (mod ).

Доказательство. Для любого максимального идеала фактор является полем, поэтому класс любого нильпотента в нём равен нулю. Тем самым, нильрадикал лежит в пересечении всех максимальных идеалов. Наоборот, поскольку фактор алгебра red () приведена, она имеет вид [,, …, ]() для некоторого аффинного многообразия и элементы алгебры отождествляются с полиномиальными функциями на. Если такая функция лежит в каждом максимальном идеале, то () = 0 для всех точек, т. е. () являтся нулевым элементом алгебры [,, …, ]().

Упражнение 11.2. Покажите, что нильрадикал произвольного коммутативного кольца совпадает с пересечением всех простых идеалов этого кольца.

11.2.2. Антиэквивалентность категорий. Cо всяким отображением множеств связан гомоморфизм поднятия,, действующий из алгебры всех функций в алгебру всех функций. Если аффинные многообразия и имеют координатные алгебры [] = = [,, …, ]() и [] = [,, …, ](), а отображение задаётся в координатах формулой = (,, …, ) (), (), …, (), то в том числе, над не замкнутым полем вместе с нулевым элементом 150 §11 Аффинная алгебраическая геометрия ( ) =, и регулярность, означающая, что () [,, …, ], равносильна тому, что1 ([]) [], т. е. что поднятие регулярной функции на является регулярной функцией на.

Упражнение 11.3. Проверьте, что теоретико множественное отображение топологических пространств (соотв. гладких или аналитических многообразий) является непрерывным (соотв. гладким или аналитическим) тогда и только тогда, когда его гомоморфизм поднятия переводит подалгебру непрерывных функций () (соотв. подалгебру гладких или аналитических функций на ) в подалгебру непрерывных функций () (соотв. в подалгебру гладких или аналитических функций на ).

–  –  –

Доказательство. Согласно лем. 9.1 на стр. 122 достаточно убедиться, что функтор (11-3) по-существу сюрьективен и вполне строг. Первое было установлено в лем. 11.1 на стр. 148. Для доказательства второго рассмотрим функтор

–  –  –

являются взаимно обратными биекциями.

Упражнение 11.4. Убедитесь в этом.

Замечание 11.1. Согласно лем. 11.2 функтор (11-4) почти квазиобратен к функтору (11-3): применяя его к координатной алгебре = [], мы получаем множество Specm точек многообразия. Однако на этом множестве имеется много разных, хотя и изоморфных друг другу структур аффинного алгебраического многообразия, если понимать такую структуру как вложение Specm с сюрьективным обратите внимание, что включение () гарантирует включение () (), означающее, что правило корректно задаёт гомоморфизм фактор алгебр [] = [,, …, ]() [,, …, ] = []

11.2. Аффинный алгебро-геометрический словарик гомоморфизмом поднятия [ ], отождествляющее Specm с аффинным алгебраическим многообразием ker. Фиксация таковой структуры равносильна выбору конкретного задания алгебры образующими и соотношениями, т. е. фиксации изоморфизма [,, …, ].

Пример 11.1 (прямая и гипербола) Точки спектра Specm [] биективно соответствуют точкам = : всякий гомоморфизм ev [] однозначно определяется своим значением ev() = на образующей.

Соответственно, максимальные идеалы [] суть главные идеалы вида ( ). Аналогично, точки спектра алгебры полиномов Лорана Specm [, ] отождествляется c дополнением до нуля {0} =, поскольку значение = ev() = = 1(ev( ) должно быть обратимым элементом поля. С другой стороны, алгебру полиномов Лорана можно задать образующими и соотношениями: имеется изоморфизм [, ] [, ]( 1),, а. Алгебра [, ]( 1) это координатная алгебра гиперболы = 1 в. Задаваемое гомоморфизмом отображение поднятия ( 1) {0} проектирует гиперболу на координатную ось, отождествляя точки гиперболы с дополнением до нуля на этой оси.

Упражнение 11.5. Пусть аффинное алгебраическое многообразие является теоретико-множественным объединением двух непустых замкнутых непересекающихся подмножеств: =. Покажите, что [] = [] [].

Пример 11.2 (копроизведения многообразий) Поскольку алгебра [] [] является прямым произведением1 в категории и очевидно конечно порождена и приведена, коль скоро таковыми являются [] и [], максимальный спектр Specm [] [] является копроизведением2 opp и в противоположной категории ff.

Иными словами, дизъюнктное объединение аффинных алгебраических многообразий и также является аффинным алгебраическим многообразием.

Пример 11.3 (произведения многообразий) Тензорное произведение -алгебр определяется как тензорное произведение векторных пространств над.

Умножение разложимых тензоров задаётся правилом ( ) ( ) = ( ) ( ).

Упражнение 11.6. Убедитесь, что оно корректно задаёт на структуру коммутативной -алгебры с единицей и что эта алгебра является копроизведением алгебр и в категории коммутативных -алгебр с единицами.

Универсальное свойство тензорного произведения задаёт теоретико множественную биекцию Specm ()Specm () Specm (), переводящую пару гомоморфизмов вычисления ev, ev в гомоморфизм, ()(). Если алгебры и конечно порождены, их тензорное произведение порождается всевозможными тензорными произведениями образующих алгебр и. Если алгебры и приведены, то тоже приведена, поскольку всякий элемент, задающий в смысле прим. 9.13 на стр. 125 в смысле прим. 9.14 на стр. 125 152 §11 Аффинная алгебраическая геометрия нулевую функцию на Specm ( ), равен нулю. Чтобы в этом убедиться, запишем в виде с линейно независимыми над элементами. Из равенства (ev ev ) = 0, справедливого для всех (, ) Specm ( ), вытекает, что при произвольно зафиксированном Specm линейная комбинация () является тождественно нулевой функцией на Specm, и потому равна нулю, т. к. алгебра приведена. Поэтому все () = 0 для всех, т. е. задают нулевые функции на Specm. Поскольку приведена, = 0, а значит, и = 0. Таким образом, [][] является копроизведением в. Поэтому аффинное многообразие Specm [][] является произведением в категории ff. Выше мы видели, что как множество оно совпадает с прямым произведением в.

11.3. Топология Зарисского. На множестве = Specm имеется каноническая топология, отражающая алгебраические свойства алгебры. Эта топология называется топологией Зарисского и имеет в качестве замкнутых подмножеств алгебраические подмногообразия в, т. е. множества вида

–  –  –

= (), где1 идеал является -линейной оболочкой всевозможных произведений с,.

Топология Зарисского имеет чисто алгебраическую природу: окрестности Зарисского отражают скорее отношения делимости, нежели «близости», и многие её свойства довольно далеки от интуитивно привычных свойств метрической топологии. Скажем, топология Зарисского на тоньше произведения топологий Зарисского на и, поскольку замкнутые не исчерпываются произведениями замкнутых подмножеств в, : например, если = =, то любая кривая, скажем, гипербола ( 1), замкнута в топологии Зарисского на =, в то время как произведения замкнутых множеств на исчерпываются конечными объединениями изолированных точек и координатных прямых.

Предложение 11.1 (база открытых множеств и компактность) Каждое открытое подмножество аффинного алгебраического многообразия является объединением конечного числа главных открытых множеств

–  –  –

и компактно2.

Доказательство. Пусть = (). Так как каждый идеал в [] конечно порождён, = (,, …, ), а значит, () = ( ), и = ( ) = ( ). Условие, обратите внимание, что последнее равенство равносильно равенству = в том смысле, что в каждом его открытом покрытии содержится конечное подпокрытие

11.3. Топология Зарисского что покрыто семейством множеств ( ), означает, что (), где — идеал, порождённый функциями. Поскольку из них можно выбрать конечный набор, порождающий тот же идеал, любое покрытие главными открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Предложение 11.2 (непрерывность регулярных морфизмов) Всякий регулярный морфизм алгебраических многообразий непрерывен в топологии Зарисского.

Доказательство. Прообраз () замкнутого подмножества () состоит из всех таких точек, что (()) = 0 для всех. Тем самым, он является множеством нулей идеала, порождённого в [] образом () идеала при гомоморфизме поднятия [] [].

11.3.1. Неприводимые компоненты. Топологическое пространство, представимое в виде объединения = своих собственных замкнутых подмножеств,, называется приводимым. В обычной метрической топологии практически все пространства приводимы. В топологии Зарисского приводимость многообразия равносильна наличию делителей нуля в алгебре [], и неприводимые многообразия являются грубыми аналогами степеней простых чисел в арифметике.

Предложение 11.3 Аффинное алгебраическое многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда в его координатной алгебре [] нет делителей нуля.

Доказательство. Разложение =, в котором каждое замкнуто, непусто и отлично от, означает наличие ненулевых необратимых ( ) и ( ).

Произведение тождественно зануляется на всём, и значит, равно нулю [].

Наоборот, если = 0 в [], а оба ненулевые, то они необратимы в [], и значит, оба замкнутых подмножества ( ) и ( ) непусты и отличны от. При этом = ( ) ( ).

Упражнение 11.8. Убедитесь, что () непусто и отлично от для всякого ненулевого необратимого многочлена [].

Следствие 11.2 Аффинная гиперповерхность {() = 0} неприводима тогда и только тогда, когда является степенью неприводимого многочлена.

Теорема 11.3 Каждое аффинное алгебраическое многообразие имеет единственное разложение в конечное объединение = … неприводимых замкнутых подмножеств, таких что при.

Доказательство. Разложение строится индуктивно: если приводимо, мы в качестве первого шага представим его в виде =, где, — собственные замкнутые подмножества. Если после нескольких шагов мы получим разложение = в котором все неприводимы, процесс заканчивается, и, выкидывая неприводимые 154 §11 Аффинная алгебраическая геометрия компоненты, содержащиеся в других неприводимых компонентах, мы получим требуемое разложение. В противном случае мы делаем следующий шаг, заменяя приводимые объединениями их собственных замкнутых подмножеств. Если эта процедура не остановится через конечное число шагов, мы сможем построить бесконечную цепочку строго вложенных замкнутых подмножеств …, идеалы которых составят бесконечную строго возрастающую цепочку (0) …, что противоречит нётеровости [].

Докажем единственность индукцией по наименьшему числу неприводимых компонент. Пусть раскладывается на компонент и для всех многообразий, раскладывающихся на меньшее число компонент, разложение единственно. Если неприводимое замкнутое подмножество лежит в объединении замкнутых подмножеств, то = ( ) ( ), а значит, или. Поэтому равенство двух разложений на неприводимые компоненты … = … влечёт включение для некоторых,, откуда = =. Выкинем из разложений и и применим предположение индукции к замыканиям оставшихся компонент.

Упражнение 11.9. Пусть замкнуты и неприводимо. Убедитесь, что = = (замыкание берётся в ) и что неприводимость для этого существенна.

Определение 11.2 Неприводимые замкнутые подмножества, о которых идёт речь в теор. 11.3, называются неприводимыми компонентами многообразия.

Следствие 11.3 Элемент [] делит нуль, если и только если он обращается в нуль на неприводимой компоненте многообразия, но не на всём.

Пример 11.4 («большие» открытые множества) Топология Зарисского нехаусдорфова.

Если неприводимо, любые два непустых открытых подмножества, имеют непустое пересечение, иначе возникло бы разложение = ( ) ( ). Иначе говоря, каждое непустое открытое подмножество неприводимого многообразия всюду плотно в нём.

Упражнение 11.10. Пусть неприводимо и, []. Докажите, что если | = | для некоторого непустого открытого, то = в [].

11.4. Рациональные функции. Элементы из [], не являющиеся делителями нуля, образуют мультипликативную систему1 []. Кольцо частных2 [] называется кольцом рациональных функций на и обозначается (). Если неприводимо, то () = [ ] — это поле частных целостного кольца [].

напомним, что подмножество в коммутативном кольце с единицей называется мультипликативной системой, если 1, 0 и, напомним, что кольцом частных со знаменателями из мультипликативной системы коммутативного кольца с единицей (или локализацией относительно ) называется фактор декартова произведения, элементы которого принято обозначать и называть дробями, по наименьшему отношению эквивалентности, содержащему равенства = ()() со всевозможными и, (если Вы впервые с этим сталкиваетесь, то Вам следует убедиться, что = тогда и только тогда, когда ( ) = 0 для некоторого, и

11.4. Рациональные функции Говорят, что рациональная функция () определена в точке, если существует такое её представление дробью =, в котором, [], не делит нуль, и () 0. Число () = ()() называется значением в точке.

Упражнение 11.11. Убедитесь, что () не зависит от способа записи в виде = с, [], не делящим нуль, и () 0.

Множество точек, в которых определена рациональная функция, называется областью определения функции и обозначается Dom(). Из сл. 11.3 и прим. 11.4 вытекает, что Dom() является плотным открытым подмножеством в.

Упражнение 11.12. Убедитесь, что для совпадения двух рациональных функций как элементов кольца () достаточно поточечного совпадения их значений на каком-нибудь плотном открытом подмножестве в.

Для открытого положим [] { () | Dom() } и будем называть его кольцом рациональных функций, регулярных в.

Предложение 11.4 Если [] не делит нуля, то () = [][ ] является кольцом частных [] со знаменателями из мультипликативной системы { }.

Доказательство. Для рациональной функции () положим { [] | []}. (11-5) Это идеал в [], и лежащие в нём неделители нуля суть все возможные знаменатели, встречающиеся в разнообразных представлениях в виде дроби. Делители нуля в суть пересечения этого идеала с идеалами ( ) неприводимых компонент многообразия. Так как неделители нуля в по определению имеются, каждое из пересечений ( ) является собственным векторным подпространством в, и весь идеал является объединением этих подпространств и подпространства, порождённого неделителями нуля. Если последнее подпространство тоже собственное, пространство оказалось бы объединением конечного набора собственных подпространств, что невозможно над бесконечным полем1.

Упражнение 11.13. Убедитесь в этом.

Таким образом, неделители нуля линейно порождают как векторное пространство над, и Dom() =. Включение () Dom() равносильно включе

–  –  –

11.4.1. Аффинность главных открытых множеств. Если [] не делит нуль, то главное открытое подмножество () = Specm [][ ] = Specm [][](1 ) всюду плотно в и является аффинным алгебраическим многообразием: например, его можно реализовать замкнутой гиперповерхностью (1 ). Вложение является регулярным морфизмом аффинных многообразий: его гомоморфизм подъёма задаёт каноническое вложение [] [][ ] [()] и продолжается до изоморфизма колец частных () ().

Замечание 11.2. Два разных толкования записи () — как координатной алгебры абстрактного аффинного многообразия, коим является (), и как подкольца в (), состоящего из рациональных функций, определённых всюду в (), при этом согласованы друг с другом.

В частности, согласованы друг с другом и два толкования обозначения [] — как координатной алгебры самого многообразия и как алгебры всюду регулярных рациональных функций:

[,, …, ]() = [] = { () | Dom() = } что вытекает из предл. 11.4 при = 1 и отвечает несобственному () =.

Предостережение 11.1. Неглавное открытое подмножество, вообще говоря, не является аффинным подмногообразием: каноническое вложение Specm [], сопоставляющее точке её максимальный идеал = ker ev [], может быть не биективно.

Упражнение 11.14. Пусть 2 и = — дополнение к началу координат в аффинном пространстве. Покажите, что [] = [ ] и, тем самым, Specm [] =.

Предложение 11.5 Пусть = … — разложение аффинного алгебраического многообразия на неприводимые компоненты. Тогда () = ( ) ( ) … ( ).

Доказательство. Выберем в идеале = ( ) [] функций, зануляющихся на всех попарных пересечениях различных неприводимых компонент многообразия, какую-нибудь ненулевую функцию, не делящую нуль в [].

Упражнение 11.15. Убедитесь, что линейно порождается такими функциями над.

Главное открытое подмножество = () = Specm [][ ] аффинно и является дизъюнктным объединением подмножеств =.

Каждое является главным открытым подмножеством многообразия и тоже аффинно:

= ( ) = Specm [ ][ ], где = (mod ( )) [ ].

Согласно упр. 11.5 [] [ ] [ ] [ ].

Упражнение 11.16. Проверьте, что кольцо частных прямого произведения коммутативных колец с единицами изоморфно прямому произведению колец частных сомножителей: ( ).

Таким образом, () () ( ) ( ).

11.5. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр

–  –  –

11.5.2. Доминантные морфизмы. Если неприводимо и гомоморфизм алгебр [] [] инъективен, то соответствующий морфизм называется доминантным. Как мы видели выше, инъективность гомоморфизма поднятия означает, что () =.

Если приводимо, то морфизм называется доминантным, если доминантно его ограничение на каждую неприводимую компоненту многообразия. В этом случае ограничение = | морфизма каждую неприводимую компоненту задаёт вложение [] [ ] ( ) в поле рациональных функций на. По универсальному свойству кольца частных это вложение однозначно продолжается до вложения в то же поле кольца рациональных функций: () ( ). Таким образом, каждый доминантный морфизм задаёт вложение () ( ) = ().

Упражнение 11.18. Покажите, что любой доминантный морфизм неприводимых аффинных многообразий раскладывается в композицию   / /, / (11-8) где — замкнутое вложение, а — естественная проекция вдоль.

11.5.3. Конечные морфизмы. Наличие регулярного морфизма позволяет рассматривать [] как алгебру над ([]) = [()] []. Морфизм называется конечным, если алгебра [] является целой над своей подалгеброй ([]) или, что то же самое, если [] является конечно порождённым ([])-модулем1.

Лемма 11.3 Любой конечный морфизм аффинных алгебраических многообразий переводит всякое замкнутое подмножество в замкнутое подмножество (), и индуцированный морфизм | () тоже конечен.

Кроме того, если неприводимо, то () ни для какого замкнутого.

–  –  –

Поскольку алгебра [] конечно порождена как ([])-модуль, алгебра [] = [] также конечно порождена как модуль над [ () ] = | ([]) = ([]) ( ([])). Тем самым, () — конечный морфизм.

Равенство () = () достаточно доказывать отдельно для каждой неприводимой компоненты, причём ввиду предыдущего можно заменить на, а на.

–  –  –

подходящими []

11.5. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр Итак, достаточно показать, что всякий конечный доминантный морфизм неприводимого аффинного многообразия сюрьективен. На алгебраическом языке это означает, что для любого расширения алгебр [] [], такого что [] не имеет делителей нуля и является конечно порождённым [] модулем, всякий максимальный идеал [] имеет вид [] для некоторого собственного максимального идеала [].

Если идеал [], порождённый в [], является собственным в [], то в качестве можно взять любой максимальный идеал, содержащий []. Таким образом, мы должны показать, что [] [] ни для какого максимального идеала [].

Предположим противное: что [] = [] для какого-то собственного идеала []. Пусть функции,, …, порождают [] как []-модуль. Наше предположение означает, что каждую из них можно записать как = с, или, в матричных обозначениях: (,, …, ) ( ) = 0, где = Mat (), а — единичная матрица. Тем самым, нулевой эндоморфизм []-модуля [] представляется в образующих { } умножением на матрицу.

Поэтому умножение на det( ) тоже аннулирует1 модуль []. Так как в [] нет делителей нуля, det( ) = 0. Раскрывая этот определитель, заключаем, что 1, т. е. = [] не является собственным.

Для доказательства неравенства () при рассмотрим какую-нибудь ненулевую функцию [], тождественно зануляющуюся вдоль, и запишем для неё целое уравнение над ([]) минимальной возможной степени:

+ ( ) + + ( ) + ( ) = 0.

Вычисляя его левую часть в точках, получим ( )| = | ( ) 0, но при этом 0 в [], т. к. иначе мы могли бы сократить уравнение на (ибо в [] нет делителей нуля). Таким образом, () ( ).

11.5.4. Нормальные многообразия. Аффинное алгебраическое многообразие называется нормальным, если оно неприводимо и его координатная алгебра [] целозамкнута в поле рациональных функций () = [ ], т. е. является нормальным кольцом в смысле опр. 10.3. Например, любое аффинное многообразие с факториальной координатной алгеброй нормально. В частности, все аффинные пространства нормальны2.

Лемма 11.4 Всякий сюрьективный конечный морфизм в нормальное многообразие открыт3 и сюрьективно отображает каждую неприводимую компоненту на.

Доказательство. Отождествим [] с подалгеброй в [] при помощи. Открытость означает, что образ любого главного открытого множества () содержит некоторую главную открытую окрестность каждой своей точки, т. е. для любой функции в силу равенства det( ) = ( ) ( ), где ( ) — присоединённая к ( )

–  –  –

Упр. 11.1. Если = 0 и = 0, то ( + ) + = 0 и () = 0 для всех.

Упр. 11.4. Пусть аффинные многообразия и имеют координатные алгебры [] = [,, …, ]() и [] = [,, …, ](). Если регулярный морфизм задаётся формулой (,, …, ) (), (), …, (), где () [,, …,, ], то [] [] действует на образующие алгебры [] по правилу (mod )(), причём включение () гарантирует включение () (), означающее, что это правило корректно задаёт отображение из фактор алгебры [] = [,, …, ](). Дважды двойственное отображение Specm [] Specm [] переводит гомоморфизм вычисления ev [], () (), в точке = (,, …, ), в его композицию c. Эта композиция переводит образующую [] в число (), т. е. является гомоморфизмом вычисления в точке (). Тем самым =. Аналогично проверяется, что и наоборот, если задан гомоморфизм алгебр [] [], то =.

Упр. 11.5. Это геометрическая версия китайской теоремы об остатках. Отображение [] [][], переводящее [] в пару (|, | ), инъективно, т. к. =.

По теореме Гильберта нулях идеал () + () [], задающий в пересечение =, содержит единицу, т. е. существуют такие () и (), что 1 = +.

Тогда () = (1 ) = (0, 1) и () = (1 ) = (1, 0), а произвольная пара классов ( (mod ()), (mod ())) [] [] равна ( + ), что означает сюрьективность.

Упр. 11.6. Поскольку формула для произведения разложимых тензоров билинейна, она корректно распространяется по линейности на неразложимын тензоры. Универсальные отображения действуют по правилам () = 1 и () = 1.

Их универсальные свойства вытекают из универсальных свойств тензорного произведения: если заданы гомоморфизмы алгебр с единицами и, то отображение, (, ) () (), билинейно, а значит, однозначно пропускается через тензорное произведение.

Упр. 11.7. Первые три равенства и включения () () ( ) () () () очевидны.

Упр. 11.8. Если () =, то (), и значит, = 0 в [] = [,, …, ](). Если () =, то множество нулей идеала [,, …, ], порождённого идеалом () и многочленом пусто, и из слабой теоремы о нулях вытекает, что 1 (mod ()) для некоторого [,, …, ], т. е. обратим в [].

Упр. 11.10. Иначе = ( ) ( ).

Упр. 11.14. Используйте покрытие = ( ) и предл. 11.4.

Упр. 11.15. Каждое пересечение ( ) является собственным векторным подпространством в, поскольку включение ( ) означало бы, что ( ), а это в силу непроводимости влечёт включение для некоторых, что невозможно, т. к. ни одна из неприводимых компонент не содержится в другой. Если все неделители нуля в лежат в собственном подространстве, то оказывается объединением конечного числа собственных подпространств.

162 Ответы и указания к упражнениям Упр. 11.16. Элемент прямого произведения не делит нуль тогда и только тогда, когда каждая из его компонент не делит нуль: =.

Упр. 11.18. Пусть = [], = []. Вложение задаёт на структуру конечно порождённой -алгебры, т. е. представляет в виде [,, …, ],

Похожие работы:

«Информационный бюллетень Маршрутизаторы Cisco ISR серии 2900 Cisco® ISR 2900 — серия маршрутизаторов с интеграцией сервисов, разработанная на основании 25-летнего опыта Cisco в области инноваций и создания передовых решений. Архитектура новых платформ...»

«Социальные льготы в Кыргызской Республике Июль 2009 г. Оглавление Введение 1. Льготы, предусмотренные при оплате за коммунальные услуги, электроэнергию, транспорт. 6 1.1. Льготы как часть унаследованной советской системы социальной защиты 1.2...»

«1866 Посвящается моему близнецовому пламени! В.П. КУЗЬМИНА Продолжение. Гл. 7.3 Германия_Берлин. МОЯ ЕВРОПА. ЧАСТЬ ІІІ -2012 ПУТЕВЫЕ ЗАМЕТКИ. 1 – super SPb_ТУР ПО СЕВЕРНОЙ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ Москва_Санкт-Петербург_Хельсинки ЕВРОПЕ: _Стокгольм _Копенгаген_Амстердам_ Париж_Фонтенбл...»

«Уильям Харт ИСКУССТВО жизни Вступление Я навсегда останусь благодарен той перемене, которую произвела в моей жизни медитация випассаны. Когда я впервые ознакомился с этим учением, я почувствовал, что прежде блуждал в потемках среди пута...»

«Координация научных исследований УДК 619:616.995.1 КООРДИНАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ВЕТЕРИНАРНОЙ ПАРАЗИТОЛОГИИ А.В. УСПЕНСКИЙ доктор ветеринарных наук, председатель координационного совета Всероссийский научно-исследовательский институт гельминтологии им. К.И.Скрябина, г. Москва, Б. Ч...»

«1 Интегрированная система контроля и диспетчеризации объекта (SCADA) "Алгоритм" Центральное рабочее место системы Руководство пользователя НВП БОЛИД Оглавление 1 Назначение программы 2 2 Требования к компьютеру...»

«Н.И. Бондарчук УДК 658.1 Н.И. Бондарчук СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ КЛАССИФИКАЦИИ АКТИВОВ Рассмотрены критерии классификации активов бухгалтерского баланса. Предлагается методика обоснования профессионального су...»

«МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ (МГС) INTERSTATE COUNCIL FOR STANDARDIZATION, M ETROLOGY AND CERTIFICATION (ISC) ГОСТ МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ 26075— СТАНДАРТ Ж И...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.