WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Д. Л, УСИКОВ СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ...»

ФЭИ-629

ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Д. Л, УСИКОВ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ

ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ьбнинск — 1 9 7 5

ФЭИ - 629

ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Д.А. Уснков

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ

ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Обниыск - 1975 У К - 519.272: 62I,U39,5 Д М-17

АННОТАЦИЯ

Ш основении статистичеовой природы задачи вводятся обобщенные критерии точности решения системы ливейвшс уравнений, которые названы "критериями статистической сумма"

ЭТИ КрИТерИИ ПОЗВОЛЯЮТ ОПвНИТЬ ЯРИГОДНОСТЬ ТОГО ИЛИ ИНОГО

численного алгоритма для решения данной линейной задачи.

Критерии применяются в наиболее известным неитерационным алгоритмам, типа различных езгвм Гаусса или метода сокряяенных градиентов.

Критерии можно ионользовйт* для сравнительной характеристики информативности

- Фиаико-энергетический институт, 1975 г.

-3I. Линейный эксперимент и линейная задача Пусть R - вектор размерности t, - набор измеренных величин (показания в каналах анализатора., совокупность намеряемых параметров реактора и т.п.). Т - вектор размерности t (константы теории; - набор величин, по которым, воооще говоря, можно определить R, а именно:



где G - прямоугольная матрица размерности ?* ?, которая носит название матрицы коэффициентов чувствительности.

Матрица & возникает обычно в результате линеаризации ИСХОДНОЙ задачи ( если, например, решатся дифференциальные уравнения) и при переходе от бесконечномерных к конечномерным задачам (решение уравнений Фредгольма первого рода).

Более подробно о физических истоках задач*! можно узнать в обзорной работе [2].

Вектор /? измеряется в экспериментах с точностью, которая характеризуется ковариационной матрицей эксперимента У. Обычно предполагается, что все случайные величины подчиняются нормальному закону. Предполагается также, что серед проведением эксперимента имелась некоторая априорная информация. Другими словами, был задан вектор Т с ковариационной матрицей М.

Для краткости мы называем ковариационные матрицы "ошибками". Обратные к ним матрицы обычно называют матрицами Фишера или "точностью".

-4По результату эксперимента R требуется определить новое, уточненное значение вектора Т, назовем его 7", и вектора Я, назовем его R. Математически задача своЛ дится к решению следухщего линейного уравнения относительно Т :

7 - значок транспонирования. Вектора выпиоываются столбцами.

Решение задачи эквивалентно определению вектора 7 • который доставляет минимум функционалу, называемому "статистической суммой" экспе

–  –  –

является ковариационной матрицей уточненного значения Т,

2. Статистические критерии точности определения вектора t..

а. ФУНКЦИЯ потерь. Определим в пространстве 7 некоторую функцию потерь Q(Tj * или как её чаете называют платежа. Разложим её в ряд.Тейлора до квадратичных членов включительно:

–  –  –

где | S(v+(GS1GT)') / - ковариацио1шая матрица вектора Д.

Qt - матрица квадратичной формы потерь в пространстве R.

б. Информационные критерии. В теории информации широкое применение нашли так называемые "критерии различимости гипотез" и "расхождения" [8j. Опишем их кратно.

Пусть %(*)- плотность вероятности некоторой случайной величины X. %(xj - другая плотность вероятности, определенная в том же пространстве Л. Различением в пользу гипотезы 1 против 2 назывгияг величину

–  –  –

Раохоадением гипотез I и 2 называют величину

Функция J ( J обладает рядом полезных свойств:

I. Она аддитивна в том смысле, что если то

2. Tff-'JjZe и равенство достигается лишь приP, Свойства I и 2 часто выдвигают в качестве аксиом, которш должны удовлетворять функции, измерящие количество.

инфор?.иция. •.

3. Расховдекие J(ftJJ помимо свойств I и 2 также не изменяется при замене Р, ш /$ с одновременной, заменой ^ на Pj свойство симметричности.

В нашем случае определить •/ и % естественно, как плотности иметь вектор 7 и вектор 7. Соответствущ и е ковариационные литрицы - /У и Л/. Величины, -которые определяются для пространства 7 будем помечать значком т,

Логарифмы натуральные. Имеем:

Аналогично две Л"-пространства имеем плотности вероятности ^ в ^ векторов Я и /? с ковариационными матрицами V иV :

-5 ^ - / * ^ к/ Л /г г7-/ • Отметим, что функции 7 " / ^ безразмерны и поэтому характеризуют эксперимент /f некоторым универсальным способом. Это их свойство особенно ценно, например, в теории реакторно-физичеокого эксперимента [ б, 9, 1 0, п ]. Все зксперименты можно расположить в порядке возрастания их расхождений о одеодимися системами констант 7*. ( Термин "расхождение" пршленяется в определенном выше точном значении). (Ложно таксе, опираясь на величину расхождения, планировать оптимальную последовательность экспериментов по уточнению констант.

Обычно интересуются не столько уточнением исходной системы констант J, сколько их некоторой линейной комбинацией:

Если У - ковариационная матрица у, то она равна Y-KMK Наиболее целесообразно планировать такие эксперименты, которые максимизировали бы расховдение :

вгде Y = K M K r - имевшаяся до проведения эксперимента точность, - размерность пространства у а. Статистическая сумма эксперимента. Третьим важным функционалом от предсказываемой величины является статистическая суша (2). Отметим одно характеристическое свойство статсуммн. Пусть X - нормально распределенный вектор с нулевым средним значением я невырожденное ковариационной матрицей. Выделим в пространстве изменения вектора некоторый объем У, ограниченные конечной замкнутой поверхностью S. Вероятность того, что вектор Л лежит в объеме У" обозначим черев Р. Зафиксируем теперь Р л.

найдем такую поверхность S, чтобы при заданном она.

ограничивала наименьший объем. Нетрудно показать, что такая поверхность описывается уравнением л т$"х - s, гда Sp - некоторая константа, зависящая от величины Я.

Сформулированный экстреглальный принцип выделяет критерий, который совпадает с видом статистической оуммы. ( Статсумма (2; содержит сумму двух статсумм. Одна связана с априорными знаниями, другая - с экспериментом;.

Подсчитаем ореднее значение $Q статсуммы ( 2 ), если в качестве начального приближения выбирать f- T. Оно оказывается равным

-9Подсчитаем среднее значение St статсушы (2) в конце решения, когда Т определяется как решение уравнения (I), то есть в минимуме. Получаем:

–  –  –

Среднее значение разности SB -Уг равно где ?т(*'^ " определенное выше (4) расхождение в пространстве 7" № видны, что средние значения статсумм и расхождения по существу являются одними и теми же статистическими характеристиками эксперимента. Достаточно выбрать иное приближение для Г при вычислении начальной статсушы, как они совпадут. Совпадение столь далеких на первый взгляд критериев интересный факт, который еще раз демонстрирует важность понятия статистической суммы.

Что касается критерия затрат, определяемого формулами (3), то, определив изменение затрат в пространстве Т :

можно задаться целью найти такую функцию потерь Q, чтобы

–  –  –

(12) Тот факт, что средние значения статсуммы в мшшмуме зависит лишь от размерности пространства эксперимента, дает нам простой критерий качества решения.

Определим теперь ошибку (или, другими словами, разброс) статистических суш, которая связана с вероятностным•характером векторов /f и. Пусть

- невырожденная матрица /г«/? и распределение X заА дается нормальным законом:

–  –  –

Согласно центральной предельной теореме предел p(sj при р -» **. стремится к нормальному распределению. Следовательно, оценка для дисперсии A1Z есть ассимптотическая оценка.





Поставим более общую задачу - определить P{V для произвольной квадратичной формы где X - случайный нормальный вектор с распределением О ).

Можно найти вое моменты и характеристическую функцию в явном виде [б].

Приводим перше два момента:

Ъ 'S(s-»r)*PfJMs -f При А * Q получаем частний случай (15).

Формулы (16) указывают на точность определения средних потерь.

Определим второй центральный момент для исходной статистической сукин (2). Получаем \ъ\ '

- 12 Второй центральный момент, характеризуя разброс S/, является, очевидно, критерием точности решения уравнения (I).

Допустим, что ура пение (I) решено точно, тогда критерий fe предоставляет возможность охарактеризовать эксперимент по опредэлепию R с точки зре;шя его самосогласованности о раннее определенным значением J, (

–  –  –

/- J называется доверием v. результату эксперимента. Например, выбрав & ~ I - 0,997, мы можем сказать, что все эксперименты, у которых ^(S^J-e^jg незначимы (несогласованны) с вероятностью 35" Областью значимости S называется множество S таких, что 3{sJ S. Отложив область значимости (на рисунке выбрана область в одну сигму по обе стороны от среднего значения), можно область, расположенную левее области значимости назвать "областью подгонки", правее - областью расхождения теоретической модели с экспериментом (неверна матрица &).

13оз"ожш и другие интерпретация. Но всякий раз, когда значение

- 13 отатсумда в минимуме выходит за область значимости, следует искать объяснение этому факту.

3. ffeynflH последовательного угочнянир Естественный способ определения 7* • который доставлял бы минимум статоуммы (2), состоит в последовательном уточнении значения вектора 7 по системе некоторых направлений.

Иьэнно этот принцип лежит в основе.неитерационных алгоритмов решения системы линейных уравнений. Пусть // - вектор, по которому на данном шаге ищется минимум статсушы (2).

Г;, у - значение вектора Т на предыдущем шаге, у/ - варьируемый параметр. Значение вектора Г для оледущего шага определяется по формуле Г. (17)

–  –  –

Зела направление / / выбирать случайно, то минимум стаа'су1.аи \,2) невозможно получить за конечное число шагов.

Однако существуют специальные направления, которые позволяют решать задачу за холечное число лагов. Одним из таких методов является иэвзстны!-; метод сопряженных каправлений f i t 12J.

г1апразле1шя /.; гыбараюг W -сопряженными:

–  –  –

Предположив, что среднее значение вектора.т и вектора R связаны соотношением М S 6 T t мы получаем иэ формулы (.21) что Т.-Т % то есть оценка на t шаге уточнения вектора Т является несмещенной.

Естественным масштабом, котормй определяет изменение статсуммы в процессе уточнения исходного вектора Т, является дисперсия стагсуымы в минимуме, равная ^ - половике размерности пространства эксперимента. Всего же статсумма должна в среднем уменьшаться на величину AS -- j Чем больше эта величина, тем информативнее данный эксперимент.

Нетрудно подсчитать, на сколько изменяется в среднем статсумма после с шагов. Получаем:

Последовательно уточняя вектор Т и одновремешо с тем определяя ^SfzJ, монно контролировать ход решения задачи.

Как только &$(*) станет сравнима с л S согласно выбранному критерию (см. предыдущую главу), процесс уточнения можно прекращать. При этом ковариационная матрица &*(?;) определяется по формуле (22). Более того, очередное направление минимизация /,• следует выбирать так, чтобы получить максимальное уменьшение статсуммы aSfi/Jl Это статистическое предпиоание.по сути,развивает известные приемы уменьшения ошибки в численных схемах Гаусса при помощи выбора главных элементов. Те алгоритмы, которые дают наименьшее отношение кеопреIS - деленчооти в статсумме к величине уменьшения статсуммы на С -ом шаге итерации, являются наилучшими по критерию статсуммы. Было бы полезно провести анализ существующие алгоритмов но этому приищу. __ В заключение автор считает своим приятным долгом поблагодарить В.М. Дмитриева за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л.,"Фиаматгиа" 1963

2. Ваньков А.А. Восстановление энергетических спектров излучения из результатов спектрометрических измерений. Препринт, часть I - ФЭИ-485, часть II - ФЭИ-486, Обнинск, 1974.

3. Drag* I.B. Statistical Consideration of C«olmlq.ttee for Adjustment, (acH-122, 1970, p.85.

l. Усиков Д*А. Инварианты подобия ковариационной матрицы и критерии оптимальности. Препринт ФЭИ-490, Обнинск, 1374.

5. Усиков Д.А. Плотности вероятностей квадратичных и билинейных форм векторов, распределенных по нормальному закону. Препринт ФЭИ-630, Обнкнок,"1975.

6. Баньнов А,Л. Некоторые важные вопросы анализа реакторно-физических данных. Препринт ФЭИ- 428, Обнинск, 1973.

7. М. Де I'pooT. Оптимальные статистические решения.' и., "Мир", 1974.

с. Кул.бак С. Теория информация и статистика.., ы., "Наука",1967.

-1? Усачев Л.Н., Маьохш В.Н., Бобков й.Г. Точность, данных и её влияние на разработку Сцограх реакгоров.

Подход в выработке требований на точность адерашс данных.

"•aolcar art* l a 8о1«м« втЛ «#elmoXogy», rimti», 1973, p.129-141.

TOI.1,

10. 0авуЪ«11 6.Ш., шиЛтЛл l»U th* «*l«tloseiitp c i lloroao«plo aad 2et«f*sl B*»| ia ftwlcwr Iteta frv SMotora. Iroe. C«rf# H»l*laki, 1970, g, I l i B.

Т1«ша» 1970» у*Э91« 11» Bnuiblvtt Ы. «a4 C*lrr I*S. lael.Sol* «ad Jag.

Э5, Э50, 1969*

12. Зангмлл У. Нелинейное программированиэ. М., "Сев. радио", 1973.

Лреприк* ФЭИ-629. T-I0378 ot 30.07.75 г. Объем 0,8 уч.-изд. л.

Тирах 101 экз. Цена 8 коп. Заказ * $УЗ Отпечатано на ротапринте ФЗИ, август, 1975 г.



Похожие работы:

«В.Ю. Зайченко ГЕОИНФОРМАТИКА КАК САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ НАУКА И ОТДЕЛЬНАЯ НАУЧНАЯ ДИСЦИПЛИНА Введение Новое научное направление науки информатики, получившее название Геоинформатика возникло в России в середине 70-х годов ХХ столетия в связи с потребностью общества в соверше...»

«ВЕСТНИК ПНИПУ Электротехника, информационные технологии, системы управления № 13 УДК 681.3.067 С.А. Воронов, А.Н. Гладков, В.В. Михалев, А.Н. Павлов Пермский военный институт внутренних войск МВД России, Пермь, Россия МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ...»

«Вычислительные технологии Том 12, № 5, 2007 ИССЛЕДОВАНИЕ (m, 2)-МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ E. A. Новиков Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия e-mail: novikov@icm.krasn.ru The (m, 2)-methods are investigated. It has been shown that the maximum order of accuracy for the L-stable (m, 2)-method i...»

«1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к завершенной предметной линии учебников "Информатика. Базовый уровень" для 10 – 11 классов общеобразовательных организаций Авторы: Угринович Н.Д. ООО "БИНОМ. Лаборатория знаний" Завершенная предметная линия учебников "Информатика. Базовый...»

«Документ с сайта http://ai-center.botik.ru/planning. * Значимый контекст рассуждений в задаче планирования Трофимов Игорь Владимирович1 Автоматическое планирование – задача высокой вычислительной сложности. Универсальные классические планировщики, опирающиеся на эвристики локал...»

«УДК 004.9 КООРДИНАЦИЯ УПРАВЛЕНИЙ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ О.В. Фридман, А.Я. Фридман Институт информатики и математического моделирования технологических процессов КНЦ РАН Аннотация Рассматривается применение нейронных сетей для повышения эффективности у...»

«4/2012(11) издается с декабря 2010 г. ISBN 978-5-91137-222-4 Кольского научного центра РАН Главный редактор – академик В.Т. Калинников Редакционный совет: академик Г.Г. Матишов, академик Н.Н. Мельников, Заместители главного редактора академик Ф.П. Митрофанов, д.г.-м-н. В.П....»

«КАТАЛОГИ И КАРТОТЕКИ М.А. Акоев, О.Г. Васильев УГТУ-УПИ, Екатеринбург Конверсия карточного каталога книг в электронную форму: опыт зональной научной библиотеки УГТУ-УПИ Только наличие электронного...»

«12. Параллельные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 12. Параллельные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 12.1. Последовательные методы решения задачи Дирихле 12.2. Организация пара...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.