WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАМИЛЬТОНА-КЕЛИ Л.Р. Родкина, доцент кафедры электроники ИИИБС ВГУЭС А.Ф. Родкин, к.ф.-м.н., доцент АИ ДВГУ Владивостокский ...»

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАМИЛЬТОНА-КЕЛИ

Л.Р. Родкина, доцент кафедры электроники ИИИБС ВГУЭС

А.Ф. Родкин, к.ф.-м.н., доцент АИ ДВГУ

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, Владивосток

"Задача решения систем линейных

алгебраических уравнений возникает

очень часто и привлекает внимание

многих исследователей... Имеется

множество методов... и на эту тему можно написать целую книгу."

Р.В. Хемминг [1].

В данной работе рассматривается метод решения систем линейных алгебраических уравнений, основанный на теореме Гамильтона-Кели.

Изучение математики в ВУЗе обычно начинается с изучения систем линейных алгебраических уравнений и методов их решения.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ) представляют собой, очевидно, самую простую и изученную математическую модель, вместе с тем, большое число различных (приближенных) методов решения СЛУ и литературы, посвященной этим методам, косвенно указывают на возникающие при их реализации проблемы. Кратко напомним суть этих проблем.

Для простоты рассмотрим определенную (имеющую единственное решение [2]) систему линейных уравнений A X = B, (1) где А = (аij) квадратная матрица порядка n (число уравнений равно числу неизвестных), X = (xi), B = (bi), i = 1,..., n (2)

- матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.



Будем предполагать вначале, что все коэффициенты системы (1) (элементы матриц A и B) - целые числа.

Если матрица A - невырожденная (detA 0 ), то решение системы (1) может быть получено по методу Крамера:

xi = detAi / detA, i = 1,..., n, (3) где detА - главный определитель системы (1), detАi - определители, получаемые из главного заменой i-го столбца столбцом свободных членов B.

Определитель n-го порядка detА является суммой n! различных членов, для получения каждого из которых требуется n-1 умножений. Для решения системы (1) методом Крамера, т.е. вычисления n + 1 определителей detA, detAi, требуется (n - 1)(n + 1)!

умножений. Основным препятствием использования метода Крамера в таком виде является рост объема вычислений с увеличением n. Поэтому метод Крамера удобен для практических применений при n = 2 или 3, или же как критерий существования решения системы (1) в теоретических исследованиях. Отметим особо, что для вычисления определителей по определению используются только умножение и сложение, поэтому метод Крамера является точным.

Самый простой метод решения СЛУ – метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

– является и наиболее экономичным, приблизительно n3 / 3 операций [3]. В стандартных алгоритмах метода Гаусса используется деление, поэтому он является приближенным методом и при больших n накопление ошибок округления приводит к большим погрешностям и искажению результата. Авторами разработана модификация алгоритма метода Гаусса преобразования целочисленных матриц, не использующая деления, и получены реализации этих алгоритмов для отыскания точных решений систем линейных уравнений и вычисления определителей [5-7].

Можно рассмотреть еще один способ вычисления точных решений СЛУ, использующий теорему Гамильтона-Кели. Суть его заключается в том, что любую невырожденную матрицу n-го порядка A и ее обратную матрицу A-1 можно представить в виде линейной комбинации степеней матрицы Ak и, следовательно, получить решение системы (1) без операции деления.





В теореме Гамильтона-Кели утверждается, что любая квадратная матрица A n-го порядка удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению:

–  –  –

где E, - единичная и нулевая матрицы n-го порядка, ck - коэффициенты характеристического уравнения.

Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение

–  –  –

Для вычисления векторов Xk+1 = AXk = A (AkX0) в (14) по сравнению с вычислением степеней матриц Ak+1 = A*Ak по теореме Гамильтона-Кели (4) требуется в n раз меньше операций: n2 умножений и n2 - n сложений.

Итак, для отыскания решения X0 системы (13)

–  –  –

надо вычислить коэффициенты характеристического уравнения ck по формулам (11), т.е. вычислить все степени (до n) матрицы Ak (k = 1,…, n), их следы Tk = Tr Ak и затем ck.

Еще раз вычислить все степени матрицы Ak (если рассчитывать A-1 по теореме Гамильтона-Кели) или Xk = AXk-1 = AkX0.

Этот алгоритм был реализован в среде Excel, VBA (Visual Basic for Application).

Численные зксперименты показывают, что главным препятствием при таком подходе является не большое число операций, а огромные величины вычисляемых значений элементов матриц (или компонент векторов). Для переменных заданных типом целый удвоенной точности (Long Integer) – (диапазон изменения от -231 до 231 –1 или от до 2147483647) программа для вычисления по матричному уравнению теоремы Гамильтона-Кели (4) работает безупречно для n 10 (при aij 10).

Вычисляются решения систем (или матричное уравнение (4)) для n 15 для матриц разреженных приблизительно на 25% и с величинами элементов aij 5.

Литература Хемминг Р.В. Численные методы. М., Наука, 1972 г. 400 с.

1.

Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. Справочная 2.

математическая библиотека. М., Физматиз, 1962 г., 300 с.

Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.

3.

М., Наука, 1976 г.

Пайпс Л. Матрицы в технике. Современная математика для инженеров, под 4.

ред. Э.Ф. Беккенбаха. М., ИЛ., 1958 г., 500 с.

Родкин А.Ф. Алгоритм метода Гаусса преобразования матриц в кольце 5.

целых чисел. 40-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы физики и математики". Сб.докл., т.1, ч. 2, Владивосток, Изд. ТОВВМУ им. С.О. Макарова, 1997 г., с.163-165.

Родкина Л.Р., Родкин А.Ф. Алгоритм вычислений определителей 6.

целочисленных матриц по методу Гаусса. Всероссийская НТК, посвященная 150летию со дня рождения С.О. Макарова. Сб. д., т.2, Владивосток, изд. ТОВМИ им. С.О.

Макарова 1998 г., с.190-192.

Родкина Л.Р., Родкин А.Ф. Вычисление определителей целочисленных 7.

матриц по методу Гаусса. Концепции методики преподавания - 2002 в сфере высшего образования. Материалы научно- методической конференции, сентябрь 2002, г. Артем, изд. ДВГУ, Владивосток, 2002 г., с. 49-52.



Похожие работы:

«Негосударственное образовательное частное учреждение высшего профессионального образования Уральский институт фондового рынка ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА по направлению: Экономика ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ (...»

«OAO "Русполимет" Консолидированная промежуточная сокращенная финансовая информация за 6 месяцев, закончившихся 30 июня 2013 года OAO "Русполимет" Содержание Консолидированный промежуточный сокращенный отчет о финансовом положении 3 Консолидированный промежуточный сокращенный отчет о прибыли или убытке и прочем совокупном доходе 5 К...»

«192 М. МАТЕЦКАЯ, кандидат экономических наук, доцент НИУ ВШЭ – Санкт-Петербург ТВОРЧЕСКИЕ ИНДУСТРИИ: ПЕРСПЕКТИВЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ* Основные вопросы, которые автор ставит в настоящей статье: 1) определить направления изменений в науке и культурной политике в связи с развитием концепции т...»

«Иллаева Сильвия Имрановна ВОСПРОИЗВОДСТВО КАПИТАЛА КОМПАНИИ НА ОСНОВЕ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА Специальность 08.00.01 (1) – Экономическая теория (Общая экономическая теория) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2011 Работа выполнена на кафедре экономической теории факультета государственного управл...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО "САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО" Экономический факультет Кафедра экономической теории и национальной экономики Развит...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (НИУ "БелГУ) УТВЕРЖДАЮ Директор института экономики Владыка М.В....»

«Агрегированная матрица внешней торговли и ее приложение в экономических исследованиях: моделирование1 М.Г. Прокопьев, д.э.н., главный научный сотрудник Института проблем рынка РАН Вестник РГНФ. – 2005. №3(40). В статье рассматривается проб...»

«Департамент образования Ярославской области государственное профессиональное образовательное автономное учреждение Ярославской области Ярославский промышленно-экономический колледж ЭКОНОМИКА. ФИНАНСЫ. ИННОВАЦИИ Межрегиональная студенческая учебно-исследовательская конференция Сборник докладов V Межрегион...»

«Утвержден “ 14 ” ноября 201 3 г. Председатель Внешэкономбанка (указывается уполномоченный орган управления эмитента, утвердивший ежеквартальный отчет) Приказ от “ 14 ” ноября 2013 г. № 1049 ЕЖЕКВАРТАЛЬНЫЙ ОТЧЕТ ГОСУДАРСТВЕННАЯ...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.