WWW.DOC.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные документы
 

«УДК 517.96 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ I РОДА С КУСОЧНО-ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ ЯДРАМИ Д.Н. Сидоров Институт систем энергетики им. Л.А. ...»

745

УДК 517.96

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОГО КЛАССА

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ I

РОДА С КУСОЧНО-ОПРЕДЕЛЕННЫМИ

ОПЕРАТОРНЫМИ ЯДРАМИ

Д.Н. Сидоров

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН

Россия, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 130

E-mail: dsidorov@isem.sei.irk.ru

Н.А. Сидоров

Институт математики, экономики и информатики ИГУ Россия, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 E-mail: sidorov@math.isu.runnet.ru Ключевые слова: интегральные модели Вольтерры, интегро-функциональные уравнения, оптимальное управление, динамические системы Аннотация: Строится асимптотическое приближение непрерывных решений абстрактного интегрального уравнения Вольтерры первого рода с операторным ядром K(t, s), представленным на подмножествах множества 0 s t T семейством линейных неограниченных оператор-функций в банаховых пространствах. Доказаны теоремы существования и приведены иллюстративные примеры классов уравнений, важных для решения некоторых проблем управления в энергетике.

Введение Рассмотрим операторное интегральное уравнение Вольтерры t K(t, s)x(s)ds = f (t), t [0, T ]. (1) Оператор K(t, s) задается формулой K1 (t, s), t, s m1,.........

K(t, s) = (2) Kn (t, s), t, s mn, где mi = (t, s R2 : i1 (t) s i (t) T ), i = 1,..., n, 0 (t) = 0, n (t) = t, 0 1 (t) · · · n1 (t) t T, 0 1 (0) 2 (0) · · · n1 (0) 1. Кривые s = i (t) разделяют в R2 область 0 s t T на n непересекающихся множеств mi.



Замкнутые линейные операторы Ki (t, s) со значениями в банаховом пространстве Y имеют плотные в банаховом пространстве X области определения Di, независящие

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ

ВСПУ-2014 Москва 16-19 июня 2014 г от аргументов t, s из открытых множеств mi, D1 D2 · · · Dn. Таким образом, в уравнении (1) операторы Ki (t, s) могут быть линейными дифференциальными операторами в частных производных с коэффициентами, зависящими от параметров t, s. Предполагается, что оператор Kn (s, s) при любом s [0, T ] имеет ограниченный обратный и Ki Kn C(mi ; L(Y Y )),

–  –  –

n2 n tn+1, сходящийся лишь в точке t = 0.

удовлетворяет ряд x(t) 2 2 n=0 Дифференцирование уравнения (1) по t, в отличие от классических уравнений Вольтерры первого рода, приводит к новому классу интегро-операторных уравнений с функциональным возмущением аргумента нейтрального типа [13,14]. Поэтому стандартные методики даже в случае X = Y = Rn к уравнению (1) не применимы.

Таким образом, исследование уравнения (1) с “разрывным” ядром не только актуально для приложений, но и представляет теоретический интерес. Случай X = Y = R1 с кусочно-непрерывным ядром изучен в работах [7–9,11], [16]. Система обыковенных интегральных уравнений Вольтерры (случай X = Y = Rn ) с кусочно-непрерывным матричным ядром рассмотрена в [15]. Методы этих работ и некоторые результаты из [3, 13, 14, 21, 22] используются в данной статье, организованной следующим образом. В п. 1 приведен способ построения логирифмо-степенных асимптотик (см.

N xi (ln t)ti искомых непрерывных решений уравнения (1).

также [5, 17, 23]) x(t) = i=0 В п. 2 доказана теорема существования параметрического семейства решений уравнения (1). В п. 3 приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения уравнения (1). Решены иллюстративные примеры.

–  –  –

Покажем, что коэффициенты xj со значениями в банаховом пространстве X в общем нерегулярном случае зависят от ln t и свободных параметров, что согласуется с возможностью существования нетривиальных решений у однородного уравнения.

При вычислении коэффициентов xj возможны регулярный и нерегулярный случаи.

1.1. Регулярый случай. Операторы B(j) имеют ограниченные обратные при j {0, 1,..., N }. В этом случае коэффициенты xj будут постоянными векторами из X.

Действительно, подставляя разложение (6) в уравнение (5), методом неопределенных коэффициентов с учетом условия (A), приходим к рекуррентной последовательности линейных уравнений относительно векторов xj :

B(0)x0 = f (0), (7) B(j)xj = Mj (x0,..., xj1 ), j = 1,..., N. (8) Правая часть Mj выражается определенным образом через решения x0,..., xj1 предыдущих уравнений и коэффициенты “полиномов Тейлора” из условия (A). Так как в регулярном случае операторы B(j) обратимы, то векторы x0,..., xN определяются единственным образом и асимптотика (6) будет построена.

1.2. Нерегулярый случай. Оператор B(j) не имеет обратного при некоторых целочисленных значениях параметра j.

–  –  –

Если j = 1 регулярная фредгольмова точка оператора B(j), то уравнение (14) имеет решение x1 (z) в виде полинома того же порядка, что и кратность особой фредгольмовой точки j = 0 оператора B(0). Если j = 1 особая фредгольмова точка оператора B(j), то решение x1 (z) строится в виде полинома степени k0 +k1, где k0 и k1 кратности особых фредгольмовых точек j = 0 и j = 1 оператора B(j). Коэффициент x1 (z) будет зависеть от r0 k0 + r1 k1 произвольных постоянных, где r0 = dim N (B(0)), r1 = dim N (B(1)). Введем условиe

–  –  –

(B) Пусть операторы B(j) в массиве (0, 1,..., N ) имеет только регулярные точки или особые фредгольмовы точки кратностей kj.

Тогда аналогичным образом можно вычислить остальные коэффициенты асимптотического приближения x(t) решения уравнения (1) из последовательности линейных разностно- операторных уравнений вида

–  –  –

Как и ранее оператор K(t, s) определен формулой (2), где Kn (t, t) = I.

Теорема 2. Пусть Kn (t, t) = I, выполнены условия (S), все операторы Ki (t, s) в представлении (2) непрерывны и по t имеют непрерывные производные, вектор f (t) также имеет непрерывную производную, f (0) = 0.

Тогда уравнение (1) в классе непрерывных функций C([0,T ];X) имеет единственное решение. Более того, решение можно найти методом шагов, сочетая его с методом последовательных приближений.

–  –  –

K1 (t s) = K2 (t s) + E, K1, K2 матрицы m m, E единичная матрица, K2 (0) L(Rm Rm ) 2, матрица K2 (t) и вектор-функция f (t) = (f1 (t),..., fm (t)) имеют непрерывные производные по t, f (0) = 0, удовлетворяет условиям теоремы 2 и имеет единственное непрерывное решение.

–  –  –

Заключение Если условия определения 3 ослабить, допустив, что оператор B(j ) имеет (j ) (k+1) B присоединенные элементы, то коэффициенты xj (z) асимптотического приближения x(t) искомого параметрического семейства решений надо будет строить в виде полиномов степени p + k. Здесь p максимум длин соответствующих обобщенных в смысле В.А. Треногина жордановых цепочек (см. [21], с.423]), k порядок полинома, стоящего в правой части соответствующего разностного уравнения. Такое обобщение представляет интерес для решения ряда классов интегродифференциальных систем с вырождениями [17, 24]. Если f (0) = 0, то уравнение (1) не имеет непрерывных решений, но может иметь обобщенные решения. Методы данной работы и работ [18–20] позволяют строить обобщенные решения уравнения (1) в классе распределений Соболева–Шварца. Разработка устойчивых численных методов решения интегральных уравнений Вольтерры с кусочно-непрерывными ядрами возможна с привлечением работ [2, 9, 10], а также работы [27].

Список литературы

1. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью Киев: Наукова думка, 1991.

2. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерры I рода: теория и численные методы.

Новосибирск: Наука. 1999.

3. Denisov A.M., Lorenzi A. On a special VIE of the rst kind // Boll. Un. Mat. Ital. B. 1995. № 7 (9). P. 443-457.

4. Evans G.C. Integral equations of the second kind with discontinuous kernel // Trans. of AMS.

1910. Vol. 11, No. 4. C. 393-413.

5. Магницкий Н.А. Асимптотика решений интегрального уравнения Вольтерры первого рода // ДАН СССР. 1983. Т. 269, № (1). С. 29-32.

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ





ВСПУ-2014 Москва 16-19 июня 2014 г

6. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линияx // Математический сборник. 2006. T. 197. № 11. C. 115-142.

7. Сидоров Д.Н. О семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с разрывными ядрами // Вест. Южно-Уральского гос. унив. Математ. моделир. и програм.

2012. № 18. С. 44-52.

8. Сидоров Д.Н. О параметрических семействах решений интегральных уравнений Вольтерры I рода с кусочно-гладкими ядрами // Дифференциальные уравнения. 2013. Т.49. № 2. С. 209Маркова Е. В., Сидоров Д.Н. Интегральные уравнения Вольтерры первого рода с разрывными ядрами в теории моделирования развивающихся динамических систем // Изв. ИГУ.

Матем. 2012. № 2. С. 31-45.

10. Сидоров Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения.

Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013, 293 с.

11. Sidorov D., Volterra Equations of the First Kind with Discontinuous Kernels in the Theory of Evolving Systems Control // Studia Informatica Universalis. 2011. Vol. 9, No. 3. С. 135-146.

12. Sidorov D.N., Sidorov N.A. Convex majorants method in the theory of nonlinear Volterra equations // Banach J. Math. Anal. 2012. Vol. 6, No. 1. С. 1-10.

13. Сидоров Н.А., Труфанов А.В. Нелинейные операторные уравнения с функционально возмущенным аргументом нейтрального типа // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45,№ 12.

С. 1804-1808.

14. Сидоров Н.А., Труфанов А.В., Сидоров Д.Н. Существование и структура решений интегрофункциональных уравнений Вольтерры первого рода // Изв. ИГУ. Матем. 2007. № 1. С. 267Сидоров Д.Н. О разрешимости систем интегральных уравнений Вольтерры первого рода с кусочно-непрерывными ядрами // Известия вузов. Математика. 2013. № 1. С. 62-72.

16. Сидоров Д.Н. Слабо сингулярные уравнения Вольтерры I рода: теория и приложения в моделировании развивающихся динамических систем. Саарбрюккен: Изд-во Палмариум.

2012, 84 с.

17. Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н. О малых решениях нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности точек ветвления // Изв. вузов. Матем. 2011. № 5. С. 53-61.

18. Sidorov N.A., Falaleev M.V., Sidorov D.N. Generalized solutions of VIEs of the rst kind // Bull.

Malays. Math. Soc. 2006. Vol. 29, No. 2. С. 1-5.

19. Sidorov D. On impulsive control of nonlinear dynamical systems based on the Volterra series // 10th IEEE Inter. Conf. Environment and Electrical Engineering. May 8-11, 2011. P. 1-6.

20. Сидоров Д.H., Сидоров Н.А. Обобщенные решения в задаче моделирования нелинейных динамических систем полиномами Вольтерры // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6.

С. 127-132.

21. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений М: Наука, 1969.

22. Треногин В.A. Функциональный анализ. Изд. 4-е. М: Физматлит, 2007.

23. Sidorov N.A., Loginov B.V. et al. Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications. Series on mathematics and its applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.

24. Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н., Красник А.В. О решении операторно-интегральных уравнений Вольтерры в нерегулярном случае методом последовательных приближений // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 40, № 6. C. 874-882.

25. Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н. Существование и построение обобщенных решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, №

9. C. 1243-1247.

26. Маркова Е.В., Сидлер И.В., Труфанов В.В. О моделях развивающихся систем типа Глушкова и их приложениях в электроэнергетике // Автоматика и телемеханика. 2011. № 7.

C. 20-28.

27. Messina E., Russo E., Vecchio A. A stable numerical method for VIEs with discontinuous kernel // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 337, No. 2. P. 1383-1393.

–  –  –



Похожие работы:

«ЧУДИНОВА Лариса Николаевна ФОРМИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА СИСТЕМЫ ИНВЕСТИЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО СБАЛАНСИРОВАННОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (региональная экономика) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата...»

«А. Г. Истомина, О. А. Оберемко ГОСУДАРСТВО И ОБЩЕСТВО ГОСУДАРСТВО И ОБЩЕСТВО DOI: 10.14515/monitoring.2015.6.03 Правильная ссылка на статью: Истомина А. Г., Оберемко О. А. Легитимация протестного участия волонтеров // Мониторинг общественн...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФИЛИАЛ ФГБОУ ВО "ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА" В Г. НАХОДКЕ КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА И ЭКОНОМИКИ ЭКОНОМИКА ТРУДА Ра...»

«1 Цель и задачи освоения дисциплины Целью освоения дисциплины "Технологии производства сельскохозяйственной продукции" является формирование у бакалавра комплекса знаний об организационных, научных и методических основах выращивания основных полевых культ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ" ГУМАНИТАРНЫЙ ФАКУЛЬ...»

«Public Disclosure Authorized Public Disclosure Authorized Public Disclosure Authorized Public Disclosure Authorized №11 Ноябрь 2005 г. ДОКЛАД ОБ ЭКОНОМИКЕ РОССИИ worldbank.org.ru Всемирный банк, Российский страновой департамент Экономический отдел ДОКЛАД ОБ ЭКОНОМИКЕ РОССИИ...»

«№ 3, 2007 Общественные науки. Экономика ЭКОНОМИКА УДК 633.1:631.15 А. В. Илюшин, Н. А. Волкова ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВНЕДРЕНИЯ РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ПРОИЗВОДСТВЕ ЗЕРНА В статье дается обоснование необходимости перехода на технологии сберегающего земледелия, приводится о...»

«УДК 349. 41 Батыкова Айнура Жапарбековна, Келдибекова Эльвира Жаныбековна Кыргызский национальный аграрный университет им. К.И. Скрябина ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОРОШАЕМЫХ ЗЕМЕЛЬ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ THE ECONOMIC IMPORTANCE OF IRRIGATED LAND KYRGYZ REPUBLIC IN MODERN CONDITIONS Аннотация:...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ УРАЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ КАФЕДРА ФИНАНСОВОГО ПРАВА УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _ д.ю.н., профессор Д. В. Винницкий (протокол заседания кафедры № 3 от "12" февраля 2013 г. ПРОГРАММА МАГИСТЕРСКОЙ ПОДГОТОВКИ ИПиП: Налоговое, международное налоговое и финансов...»

«ЗАЯВКА на размещение учебно-методических материалов в образовательном портале КЭУ Кафедра государственного и официального языков. Автор: Калыбекова Ажар Мамбетовна, Ногойбаева Салтанат Бектеновна Вид (тип) материала: Словарь по курсу Русский язык "Терминологический словарь по направлением менеджмента, коммерции,...»








 
2017 www.doc.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные документы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.